Sequência de Fibonacci

por Nat' Sex 03 Ago 2012, 10:31

Help Galera! Alguém me ajuda com essa?

Determine uma fórmula para a soma Sn = ∑ Fi (de i=1 até i=n) , na qua Fi denota o termo geral da sequência de Fibonacci.

Resp: Sn = F(n+2) - 1

Agradeço desde já!

por **Robson Jr.** Sex 03 Ago 2012, 11:11

Solução com somatório:

$\small \\ \text{Lei de formação da sequência: }\\\\F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k} \\\\ \text{Fazendo o somatório de ambos os lados:} \\\\ \sum_{k=0}^{n}F_{k+2}=\sum_{k=0}^{n}\left ( F_{k+1}+F_{k+2} \right ) \Rightarrow \sum_{k=0}^{n}F_{k+2}=\sum_{k=0}^{n}F_{k+1}+\sum_{k=0}^{n}F_{k} \\\\ \text{Como }\sum_{k=0}^{n}F_{k+2}=F_{n+2}-F_1+\sum_{k=0}^{n}F_{k+1}: \\\\F_{n+2}-F_1+\sum_{k=0}^{n}F_{k+1}= \sum_{k=0}^{n}F_{k+1}+\sum_{k=0}^{n}F_k \Rightarrow F_{n+2}-F_1=\sum_{k=0}^{n}F_k$

$\small \\ \text{Mas na sequência Fibonacci }F_0=F_1=1: \\\\ F_{n+2}-F_1=F_0+(F_1+F_2+...+F_n) \Rightarrow {\color{Red} F_{n+2}-2=Sn}$

Solução semsomatório:

$\small \\ {\color{Red} F_2}=F_0+F_1\\ {\color{Red} F_3}={\color{Red} F_2}+F_1 \\ {\color{Red} F_4}={\color{Red} F_3}+F_2 \\ {\color{Red} F_5}={\color{Red} F_4}+F_3 \\ ... \\ {\color{Red} F_n}={\color{Red} F_{n-1}}+F_{n-2} \\ {\color{Red} F_{n+1}}={\color{Red} F_{n}}+F_{n-1} \\ F_{n+2}={\color{Red} F_{n+1}}+F_{n}$

Somando as equações acima, os termos em vermelho se cancelarão. Como F0 = F1 = 1:

$\small F_{n+2}=F_0+F_1+(F_1+F_2+...+F_n) \Rightarrow {\color{Red} F_{n+2}-2=S_n}$

por Nat' Sex 03 Ago 2012, 11:43

Robson, não entendi a passagem da primeira para a segunda linha ( quando aparece o termo F(n+2)), você poderia me explicar de novo por favor?

Obrigada!

por **Robson Jr.** Sex 03 Ago 2012, 15:12

Releia meu post. Agora tem duas soluções, certamente ficará mais claro.

E seu gabarito está equivocado. F(n+2) - 1 seria a soma de F0 até FN.
A soma de F1 até FN, que é a pedida, vale F(n+2) - 2.