equação da curva

por methoB Qua 01 Ago 2012, 17:27

Em qualquer ponto (x,y) de uma curva, d²y/dx² = 1 - x² e uma equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é y = 2 - x. Ache uma equação da curva.

Obrigado.

por **Iago6** Qua 01 Ago 2012, 18:56

Não esquece de postar o gabarito. :bounce:

$\frac{d^2y}{dx^2} = 1 - x^2 \\\\ {\color{Blue} \int ( 1 - x^2)dx =x - \frac{x^3}{3} + C }\\\\ R(1,y') \rightarrow R(1,-1) \\\ f(1)=x - \frac{x^3}{3} + C \;\;\; \Leftrightarrow -1 = (1) - \frac{(1)^3}{3} + C \\\\ C = -\left (1 + \frac{3-1}{3} \right )= - \frac{5}{3} \\\\\ {\color{Blue} \int \left (x - \frac{x^3}{3} - \frac{5}{3} \right )dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}-\frac{5x}{3} + K}$

$P(1,1) \rightarrow f(x)= \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}-\frac{5x}{3} + K \\\\ 1= \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^4}{12}-\frac{5(1)}{3} + K \;\; \Leftrightarrow \;\; 1= \frac{6-1-20+12K}{12}\rightarrow K=\frac{12 + 15 }{12} \\\\ K = \frac{9}{4} \\\\ f(x)= \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}-\frac{5x}{3} + \frac{9}{4} \\\\\ f(x)= {\color{Red} \boxed {\frac{ - x^4+ 6x^2 - 20x + 27}{12}} }$