Probabilidade e geometria plana

por Gabriela Carolina Sáb 21 Jul 2012, 15:08

Considere no plano cartesiano um pentágono ABCDE de vértices A (0;2), B (4;0), C (2pi+1; 0), D (2pi+1;4) e E (0;4).
Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o ângulo AP^B seja obtuso é?
Resp.:5/16

:evil:

por **Euclides** Sáb 21 Jul 2012, 17:29

Todos os pontos sobre a circunferência farão com AB um ângulo de 90o. Fora do círculo os ângulos serão agudos e dentro dele serão obtusos. A probabilidade é igual à razão entre as áreas do semi-círculo e do pentágono.

$S_1=\frac{5\pi}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S_2=8\pi\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{S_1}{S_2}=\frac{5}{16}$

por Rock6446 Dom 22 Jul 2012, 13:18

Olá Euclides, eu estava tentando resolver esse exercício calculando a
área de um triângulo retângulo entre A,B e um ponto X no par ordenado
(4,2), mas logo vi que não era apenas essa região onde os ângulos seriam
obtusos. Como eu poderia ter notado que era um semi-círculo, existe
alguma maneira, ou só a prática mesmo?

por Gabriela Carolina Dom 29 Jul 2012, 16:48

questão legal Smile

Muito obrigada Surprised

por eduardodudu101 Dom 08 Ago 2021, 21:36

Euclides escreveu:

Todos os pontos sobre a circunferência farão com AB um ângulo de 90o. Fora do círculo os ângulos serão agudos e dentro dele serão obtusos. A probabilidade é igual à razão entre as áreas do semi-círculo e do pentágono.

$gif.latex?S_1=\frac{5\pi}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S_2=8\pi\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{S_1}{S_2}=\frac{5}{16}$

Alguém poderia explicar o motivo de o ângulo ser obtuso caso ele esteja dentro do círculo?

por **Elcioschin** Dom 08 Ago 2021, 22:28

Propriedade:

Todo triângulo retângulo é inscritível numa semi-circunferência, sendo o diâmetro a hipotenusa.

Considerando a semi-circunferência amarela:

Se P estiver sobre a semi-circunferência --->A^PB = 90º
Se P estiver dentro da semi-circunferência ---> A^PB > 90º
Se P estiver fora da semi-circunferência ---> A^PB < 90º
Meça o ângulo A^PB mostrado na figura e vc verá que é maior que 90º

por **Medeiros** Dom 08 Ago 2021, 22:40

eduardodudu101 escreveu:Alguém poderia explicar o motivo de o ângulo ser obtuso caso ele esteja dentro do círculo?

Seja você o ponto P que enxerga a parede AB sob um ângulo de 90º -- neste caso você está sobre a circunferência.
Caso você se aproxime da parede não precisa aumentar o ângulo de visão para vê-la inteira? E se a gente chegar muito perto nem cosegue ver mais a parede inteira porque o ângulo fica maior do que nossa capacidade de visão, né?

por eduardodudu101 Seg 09 Ago 2021, 00:02

Elcioschin escreveu:Propriedade:

Todo triângulo retângulo é inscritível numa semi-circunferência, sendo o diâmetro a hipotenusa.

Considerando a semi-circunferência amarela:

Se P estiver sobre a semi-circunferência --->A^PB = 90º
Se P estiver dentro da semi-circunferência ---> A^PB > 90º
Se P estiver fora da semi-circunferência ---> A^PB < 90º
Meça o ângulo A^PB mostrado na figura e vc verá que é maior que 90º

A propriedade eu a conheço,mestre Élcio. A minha dúvida está nas duas outras possibilidades(quando P é interno ou externo à circunferência)

por eduardodudu101 Seg 09 Ago 2021, 00:03

Medeiros escreveu:
eduardodudu101 escreveu:Alguém poderia explicar o motivo de o ângulo ser obtuso caso ele esteja dentro do círculo?
Seja você o ponto P que enxerga a parede AB sob um ângulo de 90º -- neste caso você está sobre a circunferência.
Caso você se aproxime da parede não precisa aumentar o ângulo de visão para vê-la inteira? E se a gente chegar muito perto nem cosegue ver mais a parede inteira porque o ângulo fica maior do que nossa capacidade de visão, né?

Muito obrigado,Medeiros. Realmente,fazendo uma analogia ao campo de visão determinado pelo ponto P torna muito mais fácil entender a questão!