Dúvida quanto a alguns elementos do gráfico...

Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico:

f(x)= x² + 1/x

Amigos, fiz tudo certinho mas o gráfico do gabarito me provocou algumas dúvidas.

Sabemos que:

f ' < 0 para x < 1/(2)^1/3
f ' > 0 para x > 1/(2)^1/3

logo:

f crescente para [ 1/(2)^1/3 , +∞ [

f decrescente para ]-∞, 0 [ e ] 0 , 1/(2)^1/3 ]

calcuei os limites necessário e descobri que não existem assíntotas horizontais.

Assim o gráfico da função é:



Dessa forma, gostaria que os amigos me explicassem:

*o que são essas linhas tracejadas em forma de parábola ? As outras duas sei que é o comportamento de f quando x → 0+ e quando x → 0- .

*Por que os gráficos não as tocam ?

*Pq o gráfico dessa função foi divido em duas partes 1º quadrante e 2° e 3º quadrante ?

* E pq o gráfico que está entre o 2º e o 3º quadrante tem esse comportamento ? Meio que ascendente, parecido com uma linear ?

Se os amigos puderem me solucionar essa dúvidas serei muito grato mesmo, mais ainda do que já sou a todos.

Obrigado. :scratch:

Olá:

Relativamente às partes a tracejado, penso que tem a ver com o seguinte:

-quando x tende para +∞ ou para -∞, os valores de f(x)=x²+1/x são muito próximos dos valores de y=x² (pois 1/x tende para 0)- daí a parábola: o gráfico de f está muito próximo do gráfico de y=x², quando x tende para infinito;

-quando x tende para 0, os valores de f aproximam-se dos da função y=1/x (pois x²→0): daí o outro tracejado (da função y=1/x) .

Um abraço.