ÁREA DE TRIÂNGULOS

por luiz.2013 Qui 05 Jul 2012, 20:54

Seja ABC um triângulo de área A . Se P é um ponto que está sobre o lado AC, a 1/3 de A para C , e Q é um ponto que está sobre o lado BC , a 1/3 de C para B , estão a área do triângulo PQB é :

a) 1/9 de A
b) 2/9 de A
c) 1/3 de A
d) 4/9 de A
e) 5/9 de A

por **Elcioschin** Qui 05 Jul 2012, 21:41

Faça um bom desenho

Seja AP = x -----> CP = 2x
Seja BQ = y ----> CQ = 2y

Seja H = 3h a altura de ABC relativa à base BC -----> Altura de PQC relativa a QC = Altura de PBC relativa a BC = 2h

Área de ABC ----> S = BC*H/2 ----> S = (3y)*3h)/2 ----> S = 9*(yh/2) -----> I

Área de PBC ----> S' = BC*(2h)/2 ----> S' = (3y)*2h)/2 ----> S' = 6*(yh/2) ----> II

Área de PQC ----> S" = QC*(2h)/2 ----> S" = (2y)*2h)/2 ----> S" = 4*(yh/2) ----> III

Área de PBQ ----> S'" = S' - S" ----> S'" = 2*(yh/2) -----> IV

IV : I -----> S'"/S = 2/9 ----> S'" = (2/9)*S -----> Alternativa B

por **raimundo pereira** Qui 05 Jul 2012, 21:51

Considere S1 a área do triângulo PQB e S2 A área do triângulo PCQ.

A/3 = S1 + S2

A/3 = S1 + S1/2

A/3 = 3S1/2

2A = 9S1

S1 = 2A/9

Att. Raimundo

por luiz.2013 Qui 05 Jul 2012, 22:23

Elcioschin

eu nao entendi essa relação :

" Seja H = 3h a altura de ABC relativa à base BC -----> Altura de PQC relativa a QC = Altura de PBC relativa a BC = 2h "

Raimundo :

por que A/3 = S1 + S2 ?

por **Elcioschin** Qui 05 Jul 2012, 22:28

Se os lados AC e BC são divididos na razão 1:2 as alturas são divididas na mesma razão.

por **raimundo pereira** Qui 05 Jul 2012, 22:45

Luiz,

Se dois triângulos possuem bases sobre a mesma reta e vértice comum, então a razão entre suas áreas é a razão entre suas bases. Veja que o segmento AC ficou divido em 3 partes iguais (Dado do problema). O segmento PC é 1/3 de AC, então a área do triângulo BPC é 1/3 da área do triângulo ABC (Que é igual a S1 + S2).

por **Medeiros** Sex 06 Jul 2012, 02:51

opinião

1) boa solução Raimundo.

2) acho que a resposta é alternativa d, S = 4A/9 e ambos, Élcio e Raimundo, resolveram corretamente mas equivocaram-se no desenho porque:
a) "Q é um ponto que está ... a 1/3 de C para B" entendo como Q estando a 1/3 de C e a 2/3 de B. O Élcio considerou o inverso, QC=2y e QB=y.
b) "P é um ponto que está ... a 1/3 de A para C" entendo como P estando a 1/3 de A e a 2/3 de C. O Raimundo considerou o inverso, PC=1 e PA=2.

O que vocês acham?

por **raimundo pereira** Sex 06 Jul 2012, 08:01

Bom dia Medeiros ,

Na minha opinião você está certo. Quando resolvi a primeira vez achei 4A/9 e depois quando fiz a figura me atrapalhei.

Obrigado

Raimundo

por **raimundo pereira** Sex 06 Jul 2012, 09:18

Medeiros refazendo a figura ,confirmo sua resposta.

S ∆BAP = A/3

S ∆BPC = 2A/3

S ∆PQC = (S ∆BPC)/3 = (2A/3)/3 = 2A/9

S ∆PBQ = 2.(S ∆PQC) = 2.(2A/9) = 4A/9