Equação - (raízes irracionais)

Resolver a equação x^4 + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0, sabendo que uma das raízes é i*√3.
R= (- 1 ± √5)/2

Olá,

x^4 + x³ + 2x² + 3x – 3 = 0

raízes:

se i*\/3 é raiz então - i\/3 também é.

designando as raízes como: i\/3, - i\/3, r3, r4 temos:

i\/3 - i\/3 + r3 + r4 = - 1 (I)

(i\/3)*(- i\/3) + (i\/3)*r3 + (i\/3)*r4 + (- i\/3)*r3 + (- i\/3)*r4 + r3*r4 = 2 (II)

( i\/3)*(- i\/3)*r3 + ( i\/3)*(- i\/3)*r4 + ( - i\/3)*r3*r4 = - 3 (III)

( i\/3)*( - i\/3)*r3*r4 = - 3 (IV)

de (IV) temos:

- i²*3 *r3*r4 = - 3 => 3*r3*r4 = - 3 => r3*r4 = - 1 (V)

de (I) temos:

i\/3 - i\/3 + r3 + r4 = - 1 => r3 + r4 = - 1 (VI)

de (V) e (VI):

r3 + r4 = - 1 => r3 = - 1 - r4
r3*r4 = - 1

( - 1 - r4 )*r4 = - 1 => - r4 - (r4)² = - 1 => (r4)² + r4 - 1 = 0

raízes: r4 = [ - 1 + \/5 ]/2 ou r4 = [ - 1 - \/5 ]/2


um abraço