Reta tangente à elipse
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Reta tangente à elipse
por hector Qua 16 maio 2012, 19:21
Qual o valor de n para que a reta y= x + n seja tangente à elipse de equação 2x² + 3y² = 6
Gabarito: ±√5
Gabarito: ±√5
hector- Padawan
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Re: Reta tangente à elipse
por Al.Henrique Qua 16 maio 2012, 22:39
y= x + n (I)
2x² + 3y² = 6 (II)
Substituindo I em II :
2x² + 3(x + n)² = 6
2x² + 3(x + n)² - 6 = 0
2x² + 3(x² +2xn + n²) - 6 = 0
2x² + 3x² + 6xn + 3n² - 6 = 0
5x² + 6n.x +3n² - 6 = 0
∆ = (6n)² - 20.(3n² - 6)
∆ = 36n² - 60n² + 120
∆ = -24n²+ 120
Como a reta é tangente á função, temos apenas 1 ponto em comum entre a reta e a elipse, portanto o ∆ deverá ser igual a zero.
Se a reta fosse secante, então ∆>0 garantiria dois pontos
Se a reta não tivesse interceção com a função, então bastava fazer ∆<0
Logo :
∆ = 0
-24n²+ 120 = 0
24n² = 120
n² = 120/24
n² = 5
n = ±√5
2x² + 3y² = 6 (II)
Substituindo I em II :
2x² + 3(x + n)² = 6
2x² + 3(x + n)² - 6 = 0
2x² + 3(x² +2xn + n²) - 6 = 0
2x² + 3x² + 6xn + 3n² - 6 = 0
5x² + 6n.x +3n² - 6 = 0
∆ = (6n)² - 20.(3n² - 6)
∆ = 36n² - 60n² + 120
∆ = -24n²+ 120
Como a reta é tangente á função, temos apenas 1 ponto em comum entre a reta e a elipse, portanto o ∆ deverá ser igual a zero.
Se a reta fosse secante, então ∆>0 garantiria dois pontos
Se a reta não tivesse interceção com a função, então bastava fazer ∆<0
Logo :
∆ = 0
-24n²+ 120 = 0
24n² = 120
n² = 120/24
n² = 5
n = ±√5
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