área do triângulo
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área do triângulo
por carlex28 Sáb 12 maio 2012, 19:46
Considere um triangulo sendo dados dois ângulos, α e β, e o lado
adjacente a esses dois ângulos sendo a. Determine a área desse triangulo
em função desses dois ângulos e o lado adjacente a esses dois ângulos
adjacente a esses dois ângulos sendo a. Determine a área desse triangulo
em função desses dois ângulos e o lado adjacente a esses dois ângulos
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Re: área do triângulo
por Medeiros Dom 13 maio 2012, 19:09
seja a construção abaixo onde são conhecidos a, alfa e beta.
x é a medida de um vértice ao pé da perpendicular h.
A = a*h/2
obtendo h:
tg\beta \\ \text{do segundo e terceiro membros,} \\ x.tg\alpha=a.tg\beta-x.tg\beta \\ a.tg\beta=x(tg\alpha+tg\beta) \;\;\;\rightarrow\;\;\; x=a \cdot \frac{tg\beta}{tg\alpha+tg\beta} \\ \text{levando esse valor na primeira linha,} \\ h=x.tg\alpha \;\;\;\rightarrow\;\;\; h=a \cdot \frac{tg\alpha \cdot tg\beta}{tg\alpha+tg\beta} "\\ h = x.tg\alpha=(a-x)tg\beta \\ \text{do segundo e terceiro membros,} \\ x.tg\alpha=a.tg\beta-x.tg\beta \\ a.tg\beta=x(tg\alpha+tg\beta) \;\;\;\rightarrow\;\;\; x=a \cdot \frac{tg\beta}{tg\alpha+tg\beta} \\ \text{levando esse valor na primeira linha,} \\ h=x.tg\alpha \;\;\;\rightarrow\;\;\; h=a \cdot \frac{tg\alpha \cdot tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}")
a área do triângulo será, então:
^{-1} "\\ A=\frac{1}{2}\,a\,h \;\;\;\rightarrow\;\;\;A = \frac{1}{2}\, a \cdot a \, \frac{tg\alpha \cdot tg\beta}{tg\alpha + tg\beta} \\\\ {\color{Red} A = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{tg\alpha \cdot tg\beta}{tg\alpha + tg\beta}} \\\\ \text{ou, escrevendo de outra forma,} \\\\ A = \frac{a^2}{2} \left(\frac{1}{tg \alpha}+ \frac{1}{tg \beta} \right )^{-1}")
x é a medida de um vértice ao pé da perpendicular h.
A = a*h/2
obtendo h:
a área do triângulo será, então:
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Re: área do triângulo
por Medeiros Dom 13 maio 2012, 19:35
ADENDO:
fazendo transformações trigonométricas na fórmula em vermelho da resposta anterior, simplificamos para:
\;}{\; cos \alpha \cdot cos \beta \;}} \;\;\;\rightarrow\;\;\; \frac{tg \alpha \cdot tg \beta}{tg \alpha + tg \beta} = \frac{\;\; \frac{sen \alpha}{cos \alpha} \cdot \frac{sen \beta}{ cos \beta} \cdot cos \alpha \cdot cos \beta \;\;}{sen(\alpha + \beta)} \\\\\\ \frac{tg \alpha \cdot tg \beta}{tg \alpha + tg \beta} = \frac{\; sen\alpha \cdot sen\beta \;}{sen(\alpha + \beta)} \\\\ \text{e a área fica,} \\\\ {\color{Red} A = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\; sen\alpha \cdot sen\beta \;}{sen(\alpha + \beta)}} "\\ \frac{tg \alpha \cdot tg \beta}{tg \alpha + tg \beta} = \frac{\;\; \frac{sen \alpha}{cos \alpha} \cdot \frac{sen \beta}{cos \beta} \;\;}{\frac{\;sen(\alpha + \beta)\;}{\; cos \alpha \cdot cos \beta \;}} \;\;\;\rightarrow\;\;\; \frac{tg \alpha \cdot tg \beta}{tg \alpha + tg \beta} = \frac{\;\; \frac{sen \alpha}{cos \alpha} \cdot \frac{sen \beta}{ cos \beta} \cdot cos \alpha \cdot cos \beta \;\;}{sen(\alpha + \beta)} \\\\\\ \frac{tg \alpha \cdot tg \beta}{tg \alpha + tg \beta} = \frac{\; sen\alpha \cdot sen\beta \;}{sen(\alpha + \beta)} \\\\ \text{e a área fica,} \\\\ {\color{Red} A = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\; sen\alpha \cdot sen\beta \;}{sen(\alpha + \beta)}}")
fazendo transformações trigonométricas na fórmula em vermelho da resposta anterior, simplificamos para:
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