Maior área de triângulo interno a outro.

:arrow: No triângulo ABC, AC=8 e BC=23, M pertence à AB, N à AC, MN é paralelo a BC, AP é a altura relativa ao vértice A e o cosseno do ângulo oposto a AB é 12/13. O maior valor possível, em cm², para a área do triângulo MNP é,
a. 5
b. 10
c. 15
d. 20

o livro não tem resposta.
agradeço desde já.

wanafunzi escreveu: :arrow: No triângulo ABC, AC=8 e BC=23, M pertence à AB, N à AC, MN é paralelo a BC, AP é a altura relativa ao vértice A e o cosseno do ângulo oposto a AB é 12/13. O maior valor possível, em cm², para a área do triângulo MNP é,
a. 5
b. 10
c. 15
d. 20

o livro não tem resposta.
agradeço desde já.

Boa noite,

PC/AC = cos C = 12/13
PC/8 = 12/13
PC = 8*12/13
PC = 96/13

Calculando AP por Pitágoras, encontra-se:
(AP)² + (PC)² = 8²
(AP)² + (96/13)² = 8²
(AP)² + 9216/169 = 64
(AP)² = 64 - 9216/169 = 10816/169 - 9216/169 = 1600/169
AP = √(1600/169)
AP = 40/13

Identificando com a letra D o ponto de intersecção entre MN e AP, e aplicando-se as proporcionalidades entre os triângulos AMN e ABC, vem:
AD/AP = MN/BC
AD/(40/13) = MN/23
23*AD = 40*MN/13
AD = 40*MN/13 : 23 = 40*MN/(13*23) = (40/299)*MN

No triângulo MNP, faremos:
DP = h (altura)
h = AP - AD
h = 40/13 - (40/299)*MN = 920/299 - (40/299)*MN = (920 - 40*MN)/299

Área do triângulo MNP:
(MN)*h/2 = MN*[(920 - 40*MN)/299]/2 = (920*MN - 40*(MN)²/598

Área ∆MNP = -40/598 (MN)² + 920/598 (MN)
O gráfico desta equação é uma parábola com concavidade voltada para baixo, indicando haver um máximo em seu vértice, cuja abcissa (X) é:

MN = -b/2a = -920/598 / -80/598 = -920/-80 = 11,5

Solução que encontrei:

A área do triângulo MNP será máxima quando MN for igual à metade da base BC (11,5=23/2).

Como MN = 11,5 quando estiver passando pelo ponto médio de AP (40/13)/2 = 20/13), a área máxima será igual a:

A(máx) = MN*h/2 = (11,5*20/13)/2 = 230/26 → A(máx) = 115/13 ≈ 8,85 cm²

NOTA: Para que a resposta fosse a alternativa "b" (por exemplo), a medida de BC deverá ser igual a 26. Será bom rever a digitação dos dados desta questão.





Um abraço.