Determine os valores de x

por **Bruna Barreto** Dom 22 Abr 2012, 16:29

(IME-72) Determine os valores de x que satisfazem a
equação:
arcsen(x √3) = arcsen 2x - arcsen x .
a) x = 0
b) x =+ ou - 1
c) x = 0, x = + ou - 1
d) x = 0, x =√3
e) x = 0; x = + ou - 1/2
Gab:E

por Convidado Dom 22 Abr 2012, 21:30

$\underbrace{arcsen(x\sqrt3)}=\underbrace{arcsen(2x)}-\underbrace{arcsen(x)}\\ .\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\beta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma\\\text{Supondo que :}\;\;\alpha,\beta\;e\;\gamma \in [0,\pi/2]\\ sen(\alpha)=sen(\beta-\gamma)\to\\ sen(\alpha)=sen(\beta)cos(\gamma)-sen(\gamma)cos(\beta)\\$

Só que:
$\left\{\begin{matrix}sen(\beta)=2x\to cos(\beta)=\sqrt{1-4x^2}\\sen(\gamma)=x\to cos(\gamma)=\sqrt{1-x^2} \end{matrix}\right.$

então

$sen(\alpha)=sen(\beta)cos(\gamma)-sen(\gamma)cos(\beta)\to\\ x\sqrt3=(2x)(\sqrt{1-x^2})-(x)(\sqrt{1-4x^2})\\ x\sqrt3-(2x)(\sqrt{1-x^2})+(x)(\sqrt{1-4x^2})=0\\ x[\sqrt3-2\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-4x^2}]=0\;\;\;\;\text{Portanto x=0 é raiz}\\ \sqrt3-2\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-4x^2}=0\\ \sqrt3-2\sqrt{1-x^2}=-\sqrt{1-4x^2}\;\;\text{Elevando ao quadrado}\\ 3+4(1-x^2)-4\cdot \sqrt3\cdot \sqrt{1-x^2}=1-4x^2\\ 3+4-4x^2-4\cdot \sqrt3\cdot\sqrt{1-x^2}=1-4x^2\\ -4\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{1-x^2}=1-7=-6\\ 2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{1-x^2}=3\;\;\;\;\;\;\text{Elevando ao quadrado:}\\ 4\cdot3\cdot(1-x^2)=9\\ 4-4x^2=3\to 4x^2=1\to x^2=\frac{1}{4}\to \fbox{x=\pm\frac{1}{2}}\\ \text{Ou ainda:}\;\;\;\;\fbox{x=\pm\frac{1}{2}\;\;\;ou\;\;\; x=0}$

Alt E

por **Bruna Barreto** Dom 22 Abr 2012, 22:14

Obrigado Gabriel! cheers

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