Determine os valores de a

por leonardoleonardo Qua 20 Jan 2016, 12:05

Determine os valores de a para os quais a expressão a+3x/(x-1).(x+1) assume todos os valores reais.

R: a ∈ [-3;3]

por magnusmanrik Qui 23 Abr 2020, 21:06

Saudações guerreiros! Alguém poderia me ajudar nessa questão? Não entendo muito bem o porquê de a resposta ser essa: a ∈ [-3;3]. Para mim (no meu humilde saber) os único valor que não poderiam ser assumidos seriam 1 e -1, mas isso valeria para "x", e não para "a". Creio que "a" poderia assumir qualquer valor real para que a expressão fosse real. O que estou errando?

Questão em forma de imagem (para melhor visualização):

por Lucius Draco Qui 02 Jul 2020, 12:58

Veja que para algum x temos:

[latex]\frac{a + 3x}{x^2-1}=y;\; \forall \: y\: \epsilon\: \mathbb{R}[/latex]

Com isso temos:

[latex]y\cdot x^2 - 3\cdot x-(y+a)=0[/latex]

Como x é um numero real temos que:

[latex](-3)^2 - 4\cdot y\cdot (-(y+a))\geq 0[/latex]

[latex]4\cdot y^2+4a\cdot y+9\geq 0[/latex]

Como y ∈ ℝ, temos que:

[latex](4a)^2-4\cdot 4\cdot 9 \leq 0[/latex]

[latex]16\cdot a^2\leq 16\cdot 9\Rightarrow a^2\leq 9[/latex]

[latex]a^2\leq 9\Rightarrow a\: \epsilon \left [ -3,3 \right ][/latex]

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