Função injetiva

Bom dia prezados usuários do Pir²!

Sendo f : A --> B e g: B --> C funções. Mostre que se g o f é injetiva então f é injetiva.

Por favor, detalhe a resolução.

Antecipo agradecimentos.

Pietro di Bernadone

Definição de função injetora:

Seja a aplicação f: A → B tal que leva os elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B. Então, dados dois elementos de A, x e x', distintos, os seus correspondentes em B são tais que:

f(x) ≠ f(x')

Foram dadas as funções:

f: A → B e g: B → C

Observe que a aplicação g ° f leva o contradomínio de f ao contradomínio de g. Nesse caso, temos:

g ° f: B → C

Sendo a função acima injetora, podemos escrever, dada a definição de função injetora:

g ° f(x) ≠ g ° f(x')

e

f(x) ≠ f(x')

Com x = x', teríamos:

f(x) ≠ f(x), o que é absurdo.

Então, podemos afirmar que x e x' são distintos. Daí, f é uma aplicação injetora.

Lembre-se que :

Se f : A --> B e g: B --> C , então sua coposta (g o f) é tal que :

g o f : A --> C

Além disso, g o f só está definida quando o contradominio de f é igual ao dominio de g.

Se (gof) é injetiva então existe um x' ∈ A que resulta em um unico y ∈ C

gof(x') = y

Se f(x) é injetiva, então existe este mesmo x' pertencente ao seu domínio que resultará em um unico y' ∈ B

f(x') = y'

Mas como ambas as funções são injetivas, a única ressalva que nos resta afirmar é que y' = y pois x' é associado á um UNICO y.