Estática - Centro de massa

Uma gangorra consistia em uma tábua homogênea de madeira de massa M=40 kg e comprimento L=4 m, fixada pelo meio em um eixo horizontal em torno do qual podia mover-se livremente. A tábua quebrou-se e perdeu-se um pedaço de um metro de comprimento de uma de suas extremidades. O marceneiro chamado para conserta-la dispõe de uma tábua do mesmo tipo, mas com apenas dois metros de comprimento. Ele pretende prega-la, sem serra-la com pregos de massa desprezível sobre a tábua quebrada, ao longo da mesma, de modo que a gangorra consertada possa ficar em equilíbrio na horizontal. O marceneiro não pretende serrar a tábua quebrada, nem tira-la de sua posição.Qual comprimento da gangorra assim consertada?

(a) 3,00 m
(b) 3,50 m
(c) 3,75 m
(d) 4,00 m
(e) 4,25 m

Desde quando nosso Super-Ultra-Mestre-Lorde-Einstein-do-Brasil-Euclides faz pergunta?

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

Vou tomar banho e tentar resolver, não posso perder esse evento tão raro.
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Vamos lá.

40Kg em 4m, 10Kg por metro. Quando a tábua foi quebrada ficamos com um lado com momento igual a 10Kg*10m/s²*0,5m = 50 N.m, e o outro lado com 20Kg*10m/s²*1m = 200N.m. Temos uma tábua com 2m, logo de massa 20Kg, para igualar nossos 50 N.m com os 200N.m

Sendo que a força peso da tábua não irá mudar:
150N.m = 20*10*d
150 = 200d
d = 0,75m

Isso significa que seu centro de massa vai estar a 75 cm do eixo. Como a tábua tem 2 metros, 25 centímetros estarão no lado em que nada foi quebrado (isso não deve alterar o equilíbrio por termos a massa e L próximo de 0), 1 metro estará em cima da tábua quebrada, e os 75 cm restantes serão somados ao comprimento da tábua.

3m + 0,75m = 3,75m

Acho que é isso. Espero ter analisado todos os fenômenos que envolvem o evento em questão.

Olá Matheus,

o raciocínio não está correto. Com a superposição das tábuas de ambos os lados, os centros de massas não estarão mais nos meios dos comprimentos. A resposta é 3,75m, mas sem concessões do tipo:

(isso não deve alterar o equilíbrio por termos a massa e L próximo de 0)

Imagine uma prancha sem massa sobre a qual são colocadas cargas em determinadas posições.

Não esperava ter acertado mesmo, pelo menos cheguei erradamente na resposta certa.

Eu sei que os centros de massas não serão mais o meio dos comprimentos de cada lado da gangorra, mas não posso considerar separadamente o centro de massa de cada uma delas?

Bem, se eu considerar o momento dos 25 cm, terei:
2,5Kg*10m/s²*0,25m = 6,25 N.m
Ele não pode serrar nenhuma das tábuas, nem pode tirar a tábua quebrada de sua posição original. O que mais deve ser levado em conta para chegar num resultado definitivo onde os 25cm não sejam problema e os momentos realmente se igualem? A questão não pede resultado aproximado? O que mais tem que ser notado que eu não notei? O angulo formado pelos centros de massa da tábua sobreposta com o centro da tábua original? Poxa, não faço ideia.

Rihan, se estiver aí, uma daquelas suas aulas é bem vinda para essa questão!

Olá, revivendo a pergunta, essa segunda parte de cada lado da expressão 10(1 - x).(1 - x)/2 e 10x.(1+x/2), como é encontrada?