Desigualdades Elementares

por FabianyJoann Qua 08 Fev 2012, 09:56

Prove que se a,b e c são positivos, então [;\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \geq 9;].

por FabianyJoann Qua 08 Fev 2012, 10:19

Eu fiz por Cauchy e achei o valor mínimo de (a+b+c).[(1/a)+(1/b)+(1/c)]:

(a+b+c).[(1/a)+(1/b)+(1/c)]= (sqrta)²+(sqrtb)²+(sqrtc)².[(1/sqrta)²+(1/sqrtb)²+(1/sqrtc)²] >= [(sqrta. (1/sqrta) + sqrtb.(1/sqrtb)+sqrtc.(1/sqrtc))²] = 3² = 9

E a dúvida mesmo era se eu poderia fazer isso ..

por **Kongo** Qua 08 Fev 2012, 11:07

Eu não consegui entender mt bem o que você escreveu, mas resolvi de uma forma.

Acho que seria mais fácil usando aquela desigualdade doida:
média aritmética >= média harmônica
$\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \\\\ (a+b+c).({\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}) \geq 9$