Exercício - Análise Combinatória

Dispomos de 12 bolas brancas idênticas e 1 bola preta. Essas 13 bolas devem ser distribuídas em 3 caixas distintas A, B e C.

A) Determine de quantas maneiras podemos distribuí-las, admitindo que uma ou mais caixas podem ficar vazias.
B) Calcule de quantas maneiras podemos distribuí-las, de modo que nenhuma caixa fique vazia.



Respostas:
A) 273
B) 198

ainda não comecei a resolver, mas tem certeza de que as respostas estão certas?

A resposta do livro está assim.

Veja o exercício anterior, segue a mesma linha de raciocínio..

a) Há 3 modos de distribuir a bola preta ( na caixa 1,2 ou 3) sem alterar a restrição.
Para distribuir as bolas brancas, se resume em calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação:
A + B + C = 12
onde A,B e C são as caixas em que devem ser distribuídas as bolas brancas.
CR3,12 = C14,12 = 91
Logo , 3.91 = 273

b) Podemos dividir em 3 casos,
1º caso) bola preta na caixa A, 2º) bola preta na caixa B , 3º) bola preta na caixa C
Estando a bola preta na caixa A, há restrições apenas para caixa B e C ( não podem ficar vazias)
A + B + C = 12
como B,C devem ser # 0, somamos 1 a cada incógnita
B = x + 1
C = y + 1
Assim o problema se resume em calcular o nº de soluções inteiras não negativas da equação:
A + x + y = 10
CR3,10 = C12,10 = 66
Para os outros dois casos, obteremos o msm valor.
Logo , R = 3.66 = 198

Muito Obrigada!