base do triângulo?

Na figura abaixo, AB = 2.AC e AD = 100. Quanto mede BC?

Spoiler:

Medeiros escreveu:

Vi esta questão na net.

Na figura abaixo, AB = 2.AC e AD = 100. Quanto mede BC?

Spoiler:

Seja AB = b, AC = c, BD = m e CD = n
b = 2c
Usando as fórmulas da bissetriz:


[latex]\frac{m}{b}=\frac{n}{c} \implies \frac{m}{2c}=\frac{n}{c}\therefore m=2n \\100 = \sqrt{bc-mn} \implies 100^2=2(c^2-n^2) \therefore c^2-n^2=5000(I))\\ \triangle ABD: m^2=b^2+100^2-2.b.100-2.b.100.cos60^o \\ 4n^2=4c^2+100^2-200c(II)\\ \triangle ADC: n^2=c^2+100^2-2c100.cos60^o\\ n^2=c^2+100^2-100(III)\\ (II)-(III): 3n^2=3c^2-100C \implies c^2-n^2=\frac{100c}{3}\\ De(I):c = 150 \implies b = 300\\ \triangle ABC: BC^2 = 150^2+300^2-2.150.300.(-\frac{1}{2})\\ BC^2 = 157500 = 2^2.3^2.5^4.7\therefore \boxed{BC=150\sqrt7}[/latex]

Agradeço as respostas dadas. Segue outra solução.



teorema da bissetriz interna  -----=>  \( \frac{CD}{x} = \frac{BD}{2x}\ \rightarrow\ BD = 2.CD \)
seja:CD = y  e BD = 2y

lei cos ∆ACD  ----->  \( y² = x² + 100² - 2x.100.\frac{1}{2}\,\,\rightarrow\,\, y² = x² + 100² - 100x \,\,\,\,\,\,\,(1) \)

lei cos ∆ABD  ----->  \( 4y² = 4x² + 100² - 2.2x.100.\frac{1}{2}\,\,\rightarrow\,\,  4y² = 4x² + 100² - 200x \,\,\,\,\,\,\,(2) \)

4*(1) - (2)  ----->  \( 0 = 3.100² - 200x\,\,\rightarrow\,\, x = 150 \,\,\,\,\,\,\,(3) \)

(3) em (1)  ----->  \( y² = x² + 100² - 100x\,\,\rightarrow\,\, y² = 150.(150-100) + 100²\,\,\rightarrow\,\,y² = 3.50² + 2².50² = 50².(3+4) \)