Cálculo de θ

Para treinar:

Calcule o ângulo θ 

Boa noite, Élcio! De novo o sr não forneceu o gabarito! Assim meu treinamento fica prejudicado.



O = circuncentro do ∆ABC, ∴ OA = OB = OC = R
BÂC é ângulo inscrito de 15º  ∴  ângulo central BÔC = arco BC = 30º
BĈA é ângulo inscrito de 30º  ∴  ângulo central AÔB = arco AB = 60º
então ∆AOB é equilátero  ∴  AB = R
∆AOC é isósceles com ângulo  = 90º (60º + 30º) ∴ OÂC = OĈA = 45º

o segmento OM, parte de um raio, liga o centro da circunferência cirscunscrita ao ponto médio da corda AC  \( \therefore OM \perp AC \,\,\rightarrow\,\, \angle AOM = 45^{\circ}\,\,\rightarrow\,\, \triangle AMO = isósceles\,\,\wedge\,\, OM = AM \)

\( \triangle OBM \equiv \triangle ABM\,\,(pelo\, critério\, LLL)\,\,
\therefore\,\, \angle AMB = \angle OMB \,(opostos\, ao\, lado R)\,\, \rightarrow\,\,180^{\circ} - \theta = 90^{\circ} + \theta \)
\( \therefore\,\,\boxed{\,\theta = 45^{\circ}\,} \)

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interessante notar que o ∆ABM é semelhante ao ∆ACB, pelo critério AA.

Eu não sei o gabarito. Esta questão me foi enviada, pelo Zap, por um amigo. 
De cara visualizei uma solução, usando a lei dos Senos mas fiquei com preguiça de resolver. Aí postei para o pessoal do fórum praticar. Eis minha solução:

Seja AM = CM = k e seja BM = m

Ângulo raso AMB: A^MB = 180º - C^MB ---> A^MB = 180º - θ

∆ ABM --> BÂM + A^MB + A^BM = 180º --> 15º + (180º -  θ) + A^BM = 180º 

A^BM =  θ - 15º

Lei dos senos: AM/senA^BM = BM/sen15º --> k/sen(θ - 15º) = m/sen15º  

k/m = sen(θ - 15º)/sen15º ---> I

∆ CBM --> B^CM + C^MB + C^BM = 180º --> 30º + θ + C^BM = 180º --> 

C^BM = 150º - θ 

Lei dos senos: CM/senC^BM = BM/senB^CM --> k/sen(150 - θ) = m/sen30º 

k/m = 2.sen(150º - θ) ---> II

I = II ---> Calcule θ

Viu o motivo da minha preguiça?

Eu estava de brincadeira e falei sobre o gabarito só para lhe encher a paciência.

Sua preguiça demorou muito mais que a minha pra chegar. Quando bati o olho na quetão também achei-a talhada para a lei dos senos mas logo vi que teria de montar relações e ia dar muita conta, muito trabalho e nem comecei por aí. Achei melhor procurar uma solução puramente por geom. plana, que costuma ser mais sintética -- dei sorte.