Equação exponencial

Uma dúvida um pouco engraçada, mas... tem como, algebricamente, mostrar que x = 1 na equação abaixo?

10ˣ = 6ˣ + 4ˣ

[latex]10^x = 6^x+4^x \iff 5^x = 3^x+2^x[/latex].


Se for soluções naturais, temos que se x<2, a única solução é x =1. Se x>=2, temos [latex] 2^x \equiv 0 \mod 4 [/latex], logo [latex]  (-1)^x \equiv 3^x +2^x \equiv 5^x \equiv 1 \mod 4 [/latex]. Logo x = 2k, com k>=1 inteiro. Daí temos [latex] 9^k +4^k \equiv 25^k [/latex]. Mas [latex] (-2)^k \equiv 9^k + 4^k \equiv 25^k \equiv 0 \mod 5 [/latex] nos leva a uma contradição. Logo não temos soluções inteiras com x>=2.


Outra análise:
[latex]10^x = 6^x+4^x \iff 5^x = 3^x+2^x \iff \left(\dfrac{3}{5} \right)^x + \left(\dfrac{2}{5} \right)^x = 1[/latex].

Temos x =1 como solução e  que [latex] \left(\dfrac{3}{5} \right)^x + \left(\dfrac{2}{5} \right)^x [/latex] é uma função estritamente decrescente. Logo não há outras soluções.

Tinha pensado só na segunda forma, obrigada por mostrar outra. De qualquer forma, apesar de poder tirar conclusões legais sobre, é curioso que não se consiga chegar exatamente em x = 1 no final. Nunca tinha pensado sobre. Valeu!