Aritmética

Prove que o número 1²⁰⁰⁵ + 2²⁰⁰⁵ + 3²⁰⁰⁵ + ... + 2005²⁰⁰⁵ é múltiplo de 1 + 2 + 3 + ... + 2005.

[latex] 1 + 2 + 3 + ... + 2005 = \dfrac{(2005+1)\cdot 2005}{2} [/latex]

Vou usar três resultados:

1) Se a e b dividem c com mdc(a,b) = 1, então ab divide c.
2) Se k é ímpar, temos que a+b divide [latex] a^k + b^k [/latex].
3) Se a divide b e c, então a divide b+c.

Quero mostrar que (2005+1)*2005 divide 2S, onde [latex] S = 1^{2005}+ 2^{2005} +\cdots +2005^{2005} [/latex].

Primeiro note que mdc(2005+1, 2005) = mdc(2005,1) = 1, logo posso usar o resultado 1) .

Temos
 [latex] S = 1^{2005}+ 2^{2005} +\cdots +2005^{2005} \implies 2S = (1^{2005} + 2005^{2005}) + (2^{2005}+2004^{2005})+ \cdots +(2005^{2005}+1^{2005}) [/latex].

 Pelo resultado 2), temos que 2005+1 divide cada uma das parcelas da soma, e pelo resultado 3, temos que 2005+1 divide 2S.
[latex] S = 0^{2005} + 1^{2005}+ 2^{2005} +\cdots +2005^{2005} \implies 2S = (0^{2005} + 2005^{2005}) + (1^{2005}+2004^{2005})+ \cdots +(2005^{2005}+0^{2005}) [/latex]


 Pelo resultado 2), temos que 2005 divide cada uma das parcelas da soma, e pelo resultado 3, temos que 2005 divide 2S.


Logo 2005 e 2005+1 dividem 2S com mdc(2005+1,2005) = 1, logo (2005)(2005+1) divide 2S. Logo (2005)(2005+1)/2 divide S.

Muito Obrigado Mestre 
Bom dia!