Determinantes

por kakaneves999@gmail.com Ter 26 Mar 2024, 20:23

Considere todos os determinantes de 2° ordem, em que os elementos podem ser zero ou um. Então, a razão do numéro de determinantes positivos para o número total de tais determinantes é:
a)4/16
b)1/2
c)1/8
d)3/8
e)3/16 (x)

Desde já, agradeço a todos!

por **Giovana Martins** Ter 26 Mar 2024, 20:57

Oii. Eu sou terrível em análise combinatória, mas será que não tem erro nessas alternativas? Cheguei em um valor que não consta em nenhuma das alternativas.

Para o elemento a₁₁ há duas possibilidades {0,1};

Para o elemento a₁₂ há duas possibilidades {0,1};

Para o elemento a₂₁ há duas possibilidades {0,1};

Para o elemento a₂₂ há duas possibilidades {0,1}.

Logo, há N = 2⁴ matrizes formadas por 0 ou 1.

Dentre as matrizes formadas por 0 ou 1, as matrizes adiante são as matrizes cujos determinantes são negativos:

[latex]\\\mathrm{M=\left \{ \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \right \}}[/latex]

Logo:

[latex]\\\mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{2^4-3}{2^4}=\frac{13}{16}}[/latex]

por kakaneves999@gmail.com Ter 26 Mar 2024, 21:49

Olá Gi. Para termos Det > 0, a11*a22 > a12*a21
a11 e a22 só podem ser 1 enquanto a12*a21 tem que ser igual a 0.
Para isso, temos que ter pelos menos um termo com o número zero ou os dois termos sendo 0. A única justificativa pode ser essa.
a12 = 1 e a21 = 0; ou a12 = 0 e a21 = 0; ou a12 = 0 e a21 = 1. Será?

por **Giovana Martins** Sáb 30 Mar 2024, 21:42

Boa noite, Kaka.

Desculpe a demora. Esqueci-me desta questão.

Como eu disse, sou terrível em análise combinatória, mas a meu ver a sua ideia está certa, porém incompleta.

Note que ao fixar os elementos de cada termo essas condições devem ocorrer todas simultaneamente, o que implicaria o fator multiplicativo de cada condição (isso seria o mesmo que a intersecção de todos os casos).

Isso foi mais ou menos o que eu tentei propor na minha resolução: primeiramente eu defini todas as matrizes de ordem 2 possíveis formadas pelos elementos 0 e 1 (representado pelo 2⁴). Posteriormente retirei somente as matrizes cujos determinantes são negativos, isto é, subtrai o 3 do 16.

Por fim, apenas realizei o cálculo da razão solicitada.

Enfim, talvez algum membro mais experiente na disciplina possa esclarecer melhor a questão.

por **Leonardo Mariano** Sáb 30 Mar 2024, 22:46

Boa noite Giovana e Kaka.
Vejam se concordam comigo: Na minha interpretação, como foram pedidos apenas os determinantes positivos, também teria que subtrair os determinantes nulos, que são 10 no total, dai fecharia certinho:
[latex] P = \frac{16 - 3 - 10}{16} = \frac{3}{16} [/latex]
Ou da forma como o Kaka pensou:
Para o determinante ser positivo precisamos que ocorra a forma Det = 1 - 0, ou seja, a diagonal principal precisa possuir os dois termos iguais a 1, já a secundária precisa ter pelo menos 1 elemento igual a zero: (0, 0), (0, 1) ou (1, 0). Logo:
[latex] P = \frac{3}{16} [/latex]