Gases

1 mol de um gás ideal sofre a transformação dada pelo gráfico volume versus temperatura dado a seguir. 



ABCD é um paralelogramo. AB e CD são transformações isocóricas. A pressão máxima é o quadruplo da pressão mínima. Em B, o volume é de 20 L e a temperatura é de 400 K.

a) Qual é o valor da temperatura mínima?
b) Qual é o valor da pressão mínima?

Por enquanto não tenho o gabarito

Partiremos de
\[PV=nRT\]
\[\frac{PV}{T}=nR\]
Com \(n=1\), temos:
\[\frac{P_\text{A}V_\text{A}}{T_\text{A}}=\frac{P_\text{B}V_\text{B}}{T_\text{B}}=\frac{P_\text{C}V_\text{C}}{T_\text{C}}=\frac{P_\text{D}V_\text{D}}{T_\text{D}}=R\]
Vejamos o que sai do enunciado e do gráfico.
\[T_\text{B}=400\,\text{K}\]
\[V_\text{A}=V_\text{B}=20\,\text{L}\]
\[T_\text{A}=T_\text{C}\]
\[V_\text{C}=V_\text{D}\]
Como \(B\) e \(D\) estão ligados por uma reta, o coeficiente angular é proporcional à pressão (que, nessa reta, tem de ser constante).
\[V=\frac{R}{P}T\]
Logo,
\[P_\text{B}=P_\text{D}\]
Além disso, nesse paralelogramo em especial as bases são iguais. Assim,
\[T_\text{B}-T_\text{A}=T_\text{C}-T_\text{D}\]
A relação entre as pressões.
\[P_\text{B}>P_\text{A}\]
\[P_\text{B}=P_\text{D} \qquad \Rightarrow \qquad P_\text{D}>P_\text{A}\]
\[P_\text{C}>P_\text{D}\]
A maior pressão ocorre em \(C\), e a menor, em \(A\). Então, a partir do enunciado, \(P_\text{C}=4P_\text{A}\).

Podemos começar a calcular.
\[\frac{P_\text{B}V_\text{B}}{T_\text{B}}=R\]
\[P_\text{B}=\frac{T_\text{B}R}{V_\text{B}}=\frac{400R}{20}\]
\[P_\text{B}=20R\]
Deixemos a pressão em função de \(R\) para facilitar.

\[\frac{P_\text{A}V_\text{A}}{T_\text{A}}=\frac{P_\text{C}V_\text{C}}{T_\text{C}}\]
\[\frac{P_\text{A}V_\text{A}}{T_\text{A}}=\frac{4P_\text{A}V_\text{C}}{T_\text{A}}\]
\[20=4V_\text{C}\]
\[V_\text{C}=V_\text{D}=5\,\text{L}\]

\[\frac{P_\text{B}V_\text{B}}{T_\text{B}}=\frac{P_\text{D}V_\text{D}}{T_\text{D}}\]
\[\frac{P_\text{B}V_\text{B}}{T_\text{B}}=\frac{P_\text{B}V_\text{D}}{T_\text{D}}\]
\[\frac{V_\text{B}}{T_\text{B}}=\frac{V_\text{D}}{T_\text{D}}\]
\[\frac{20}{400}=\frac{5}{T_\text{D}}\]
\[T_\text{D}=100\,\text{K}\]
As bases do paralelogramo são iguais: \(T_\text{B}-T_\text{A}=T_\text{C}-T_\text{D}\).
\[400-T_\text{A}=T_\text{C}-100\]
Mas \(T_\text{A}=T_\text{C}\).
\[400-T_\text{A}=T_\text{A}-100\]
\[2T_\text{A}=500\]
\[T_\text{A}=T_\text{C}=250\,\text{K}\]

\[\frac{P_\text{C}V_\text{C}}{T_\text{C}}=R\]
\[P_\text{C}=\frac{T_\text{C}R}{V_\text{C}}=\frac{250R}{5}\]
\[P_\text{C}=50R\]

\[\frac{P_\text{A}V_\text{A}}{T_\text{A}}=R\]
\[P_\text{A}=\frac{T_\text{A}R}{V_\text{A}}=\frac{250R}{20}\]
\[P_\text{A}=12,\!5R\]

A temperatura mínima é 100 K (em \(D\)) e a pressão mínima é 12,5R (em \(A\)).