força elétrica

Uma partícula de massa m e carga de módulo q é colocada no ponto médio do segmento da reta que une duas cargas fixas, cada uma de valor +Q, afastadas uma da outra por 2d. Em ambas as situações mostradas na figura, a partícula se encontra em equilíbrio. Na situação da figura 1, a partícula é positiva e é levemente deslocada da posição de equilíbrio ao longo da reta que une as cargas + Q. Na situação da figura 2, a partícula é negativa e é levemente deslocada da posição de equilíbrio ao longo da mediatriz do segmento que une as cargas + Q. Sabendo que a partícula entrará em MHS em ambas as situações, a razão entre a frequência do MHS da situação da figura 1 e a frequência do MHS da situação da figura 2 é igual a:



gab.: √ 2

Boa tarde. Utilizei diversas aproximações na resolução, sendo elas:
θ bem pequeno, logo:
[latex]cos \theta \approx 1 [/latex]
O deslocamento x do ponto de equilíbrio também é pequeno, então x² é menor ainda, logo:
[latex] x^2 \approx 0 [/latex]
Situação 1: O corpo será deslocado uma distância x em direção à uma das cargas, fazendo uma força ser maior que a outra.
Em um MHS a aceleração em módulo é igual a w²x.
Resolvendo:
[latex] \frac{kqQ}{(d-x)^2} - \frac{kqQ}{(d+x)^2} = ma \\
\frac{kqQ}{d^2 -2dx +x^2} - \frac{kqQ}{d^2 +2dx +x^2}=ma \\
\frac{kqQ}{d^2 -2dx} - \frac{kqQ}{d^2 +2dx} = ma \\
kqQ(\frac{d^2 + 2dx}{(d^2-2dx)(d^2+2dx)}- \frac{d^2 - 2dx}{(d^2-2dx)(d^2+2dx)}) = ma \\
\frac{kqQ4dx}{d^4} = mw^2x  \\
w = \sqrt{\frac{4kqQ}{md^3}} \therefore f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4kqQ}{md^3}} [/latex]
Situação 2: Agora a partícula será deslocada na mediatriz, então a distância entre as cargas será dada pela hipotenusa(h) do triângulo retângulo que será formado. Na horizontal temos a distância d, na vertical x. Considere o ângulo θ como aquele formado entre a hipotenusa e a horizontal.
[latex] cos\theta=\frac{d}{h}\therefore h \approx d  \\
sen\theta = \frac{x}{h} \approx \frac{x}{d}[/latex]
Devemos somar as duas forças na direção y, logo:
[latex] 2\frac{kqQ}{h^2}sen\theta = ma \rightarrow  2\frac{kqQ}{d^2}\frac{x}{d} = ma \\   2\frac{kqQx}{d^3} = mw^2x \rightarrow w = \sqrt{\frac{2kqQ}{md^3}} \therefore f_2=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2kqQ}{md^3}}  [/latex]
Encontrando o valor pedido:
[latex]  
\frac{f_1}{f_2}= \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4kqQ}{md^3}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2kqQ}{md^3}}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} [/latex]
Creio que seja isso.

Excelente resolução.

Muito obrigado, mestre .