Questão MDC

O MDC entre dois números é 123. O maior é 738. Calcular o menor.

Seja x o menor. Temos mdc(738, x) = 123. Logo 123 divide x. Logo x = 123k com k inteiro. Como 738 = 123*6, temos k <= 6. k não pode ser um múltiplo de 2 nem de 3, pois o mdc entre x e 723 seria diferente de 123. Então k é qualquer inteiro menor que 6 e que não é múltiplo de 2 nem de 3.

[latex] k\in \left\{\cdots,-7, -5,-1,1,5 \right\}[/latex]

uma abordagem mais simplória porém diferente.

mdc(a, b) = 123 = 3 . 41
seja a = 738 = 2 . 3² . 41
b = ?

Lembrando que o MDC toma os fatores primos comuns com o menor expoente, b não pode ter o 2; também não pode ter 3² (pois o MDC tem apenas um 3) mas forçosamente deverá ter o 3; assim como deverá ter o 41. Daqui poderíamos concluir que

Porém o b poderia ter o 5, ficando

Mas b não pode ter nenhum outro primo além do 5 pois, conf. enunciado, deve ser menor que 738; e 123*7 = 861.

Portanto há dois valores possíveis para o b ---> b = {123, 615}

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Entendo evidente uma falha do enunciado ao usar o artigo definido singular o em "calcule o menor", desta forma definindo que há apenas um valor possível para o menor. Talvez por isto tenha havido demora em conseguir respostas à questão.