Questão Geometria Plana - Triangulo

O ponto M se encontra na base AC de um triângulo isósceles ABC. E no interior de ABC se encontra o ponto P. Se o ângulo PÂB=PCA, calcule APB+M PC, sabendo que AM = MC e BPC=90°.


(A) 100° (B) 135° (C) 150° (D) 180° (E) 240°

Uma figura para ajudar:

Aproveitando o desenho do mestre Elcio, penso que seja isso:

Veja que PBCM é cíclico, cuja prova pode ser feita utilizando semelhança. Deixo essa etapa com você. Agora, como \(P\hat{A}M + A\hat{P}M = P\hat{M}C\), e, uma vez que o quadrilátero é cíclico, então: 

\[P\hat{M}C+P\hat{B}C=180°\]
\[P\hat{A}M+A\hat{P}M+90°-P\hat{C}B=180°\]
\[P\hat{A}M+A\hat{P}M+90-P\hat{A}M=180°\]
\[\fbox{$A\hat{P}M=90°$}\]

Logo, a resposta é:

\[A\hat{P}B+M\hat{P}C+A\hat{P}M+C\hat{P}B=360°\]
\[A\hat{P}B+M\hat{P}C+90°+90°=360°\]
\[\therefore\fbox{$A\hat{P}B+M\hat{P}C=180°$}\]

Obs: Caso não consiga provar que PBCM é cíclico, eu escrevo mais à noite. É só dizer.

Perfeito, Vitor.
Mas não estou vendo como provar o "quadrilátero cíclico", você poderia demonstrar para mim?

Com certeza Medeiros, veja se fica claro:

Uma vez que \(M\widehat{B}C=90°-\alpha-\theta\)  e  \(C\widehat{B}P=90°-\alpha\Rightarrow M\widehat{B}P=\theta\). Agora, nos triângulos \(\Delta BPQ \)  e  \(\Delta CMQ \):

\[sin\theta=\frac{\overline{QM}}{\overline{QC}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{QB}}\]

Logo, pelo caso LAL ∆PQM~∆BQC, assim \(P\widehat{M}B=Q\widehat{C}B=\alpha \). Por fim:

\[P\widehat{M}C+P\widehat{B}C=90+\alpha+90-\alpha\]
\[\fbox{$P\widehat{M}C+P\widehat{B}C=180°$}\;\;\;_\blacksquare\]

De forma mais genérica, uma condição necessária e suficiente para que um quadrilátero convexo seja cíclico é que os ângulos formados entre um lado e uma diagonal sejam iguais aos ângulos formados entre o lado oposto e a outra diagonal.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadril%C3%A1tero_c%C3%ADclico

Grato pela atenção, Vitor.
Agora estou na correria, vou estudar isto no fim de semana (numa tela maior que o celular).
Abç.

Como vocês conseguiram visualizar e montar esse problema. Eu postei aqui pois não sabia montar, quando falo não saber eu queria ter uma noção do zero.

A montagem é uma interpretação exata do enunciado

1) Triângulo ABC é isósceles ---> AB = CB = a e BÂC = B^CA

2) PÂB = P^CA = θ

3) AM = MC ---> M é ponto médio de AC

4) B^PC = 90º

O resto é consequência de propriedades básicas de triângulos. Por exemplo:

a) Num triângulo retângulo se um ângulo agudo é α, o outro agudo é 90º - α

b) Num triângulo qualquer a soma dos seus ângulos internos vale 180º