(Ufla-MG/PAS)

por dglrootkali Dom 11 Fev 2024, 18:27

Foi solicitado a um engenheiro que projetasse uma curva, de modo que um carro a 90Km/h pudesse fazê-la sem depender do atrito. O raio da curva deveria ser de 62,5m. Qual deveria ser o ângulo de elevação da curva com relação à horizontal?(g = 10 m/s².)

a) 65° b) 45° c) 30° d) 50° e) 20°

Gabarito:

por **Leonardo Mariano** Dom 11 Fev 2024, 18:43

Boa tarde.
Como não deve existir atrito, as únicas forças existentes são a normal e o peso.
Fazendo o equilíbrio na vertical para encontrar o valor da força normal:
[latex]Ncos\alpha=mg\therefore N = \frac{mg}{cos\alpha}[/latex]
Agora, fazendo a resultante centrípeta, é possível encontrar o ângulo:
[latex] N.sen\alpha=\frac{mv^2}{R}\rightarrow \frac{mg}{cos\alpha}.sen\alpha=\frac{mv^2}{R}\rightarrow tg\alpha=\frac{v^2}{gR} \\
\rightarrow tg\alpha = \frac{25^2}{10.62,5}=1\therefore \alpha=45 ^o [/latex]

por Inyvncyble Dom 11 Fev 2024, 18:48

Para resolver esse problema, podemos usar as leis da física relacionadas ao movimento circular. Quando um carro faz uma curva, ele está experimentando uma aceleração centrípeta, que é fornecida pela força resultante que age sobre ele, dirigindo-o em uma trajetória curva.

A fórmula para a aceleração centrípeta é dada por: ac=v²/r

Transforando a velocidade de 90km/h para m/s, temos que a velocidade é de 25 m/s.

Substituindo os valores na formula: ac=25/62,5 ---> ac=10m/s². Concluindo que a aceleração centrípeta é igual à aceleração devido à gravidade, pois o carro está fazendo a curva sem depender do atrito.

Agora, podemos usar trigonometria para encontrar o ângulo de elevação da curva com relação à horizontal. A componente vertical da força centrípeta é dada por Fv =m×g, onde m é a massa do carro.

Para encontrar o ângulo de elevação θ, podemos usar a tangente: tan(θ)=Fv/Fh, sendo Fh a componente horizontal da força centrípeta, que é igual à própria força centrípeta.

Portanto: tan(θ)=Fv/Fh ---> tan(θ)=m.g/m.ac ---> agora podemos cortar tanto a massa com massa e a gravidade com a aceleração centrípeta.

Logo, tan(θ)=1 ----> θ=45∘

ALTERNATIVA B

por **Giovana Martins** Dom 11 Fev 2024, 18:55

[latex]\\\mathrm{tan(\theta )=\frac{F_C}{mg}\to \theta =arctan\left ( \frac{v^2}{Rg} \right )}\\\\ \mathrm{\ \ \theta =arctan\left [ \frac{\left ( \frac{90}{3,6} \right )^2}{62,5\times 10} \right ]=45^{\circ}}[/latex]