Tempo de encontro (Função Trigonométrica)

Em um parque de diversões, há duas opções de rodas-gigantes. Apesar de serem exatamente iguais, a velocidade do giro da segunda opção é o dobro da velocidade da primeira. Enquanto Eduardo prefere a primeira opção, seu irmão Marcos escolhe a segunda. Ao entrarem em suas respectivas rodas-gigantes, Eduardo e Marcos perceberam que foram alocados exatamente na mesma posição e que seus percursos foram iniciados no mesmo instante

Sabendo que a altura de Eduardo com relação ao solo em função do tempo é dada por [latex]He = 22 + 20 \cdot \sin (\frac{t\pi }{200})[/latex]em que t representa o tempo em segundos, em qual instante após o início do percurso os irmãos se encontrarão pela primeira vez na mesma altura?
a) 200/6 segundos 
b) 42 segundos 
c) 200/3 segundos 
d) 100 segundos 
e) 200 segundos

Gabarito:

Olá,

Note que:

[latex]H_e = 22+20sen(\frac{\pi}{200}t)\Rightarrow \omega _e=\frac{\pi}{200}rad/s[/latex]

Porém, do enunciado, a velocidade de giro da segunda roda gigante é o dobro da primeira, ou seja:

[latex] \omega _m=2\omega _e=\frac{\pi}{100}rad/s[/latex]

Então, a altura de Marcos em função do tempo é dada por:

[latex]H_m = 22+20sen(\frac{\pi}{100}t)[/latex]

Daí, na ocorrência de mesma altura têm-se:

[latex]H_e = H_m \Rightarrow 22+20sen(\frac{\pi}{200}t)=22+20sen(\frac{\pi}{100}t)[/latex]

[latex]  \Rightarrow sen(\frac{\pi}{200}t) = sen(\frac{\pi}{100}t)   = 2sen(\frac{\pi}{200}t)cos(\frac{\pi}{200}t)[/latex]

[latex]  \Rightarrow cos(\frac{\pi}{200}t) = \frac{1}{2}[/latex]

Então, o primeiro t é dado por:

[latex]  \frac{\pi}{200}t = \frac{\pi}{3}  \therefore t = \frac{200}{3}s.[/latex]

Vitor Ahcor escreveu:Olá,

Note que:

[latex]H_e = 22+20sen(\frac{\pi}{200}t)\Rightarrow \omega _e=\frac{\pi}{200}rad/s[/latex]

Porém, do enunciado, a velocidade de giro da segunda roda gigante é o dobro da primeira, ou seja:

[latex] \omega _m=2\omega _e=\frac{\pi}{100}rad/s[/latex]

Então, a altura de Marcos em função do tempo é dada por:

[latex]H_m = 22+20sen(\frac{\pi}{100}t)[/latex]

Daí, na ocorrência de mesma altura têm-se:

[latex]H_e = H_m \Rightarrow 22+20sen(\frac{\pi}{200}t)=22+20sen(\frac{\pi}{100}t)[/latex]

[latex]  \Rightarrow sen(\frac{\pi}{200}t) = sen(\frac{\pi}{100}t)   = 2sen(\frac{\pi}{200}t)cos(\frac{\pi}{200}t)[/latex]

[latex]  \Rightarrow cos(\frac{\pi}{200}t) = \frac{1}{2}[/latex]

Então, o primeiro t é dado por:

[latex]  \frac{\pi}{200}t = \frac{\pi}{3}  \therefore t = \frac{200}{3}s.[/latex]

Muito obrigado.