Exprimir o volume do tetraedro em função de arestas

1. Num tetraedro (não necessariamente regular), duas arestas opostas têm o mesmo comprimento a e são perpendiculares entre si. Além disso, cada uma delas é perpendicular a uma linha de cumprimento b que liga os seus pontos médios. Exprimir o volume do tetraedro em função de a e b e demonstrar a resposta.

Na possibilidade representação gráfica.

Por favor reveja o enunciado, acho que está truncado. Além disso está confuso.

Corrigido enunciado.

Olá,

Acredito que o correto seria: "duas arestas opostas têm o mesmo comprimento a e são ortogonais entre si". 

Nesse caso, temos:

(i) A área do ∆BCD é dada por:

[BCD] = ah/2 = (a/2)*√(b²+a²/4) 

(ii) Note que do ∆BOE: tgθ = 2b/a ⇒ sinθ = b/√(b²+a²/4)

(iii) H = ABsinθ = ab/√(b²+a²/4)

Por fim, o volume é:

V = H[BCD]/3 = a²b/6.

 

uma solução "malandra".

Seja o tetraedro inscrito num paralelepípedo de arestas {\(\ell,\, \ell,\, b \)}. Tal tetraedro é construído com as diagonais ortogonais das faces opostas do paralelepípedo, conforme a figura.
Note que, conf. enunciado, o tetraedro tem duas arestas de medida a que distam b uma da outra.


por construção  -->  \(a=\ell\sqrt{2}\,\,\rightarrow\,\,\ell=a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

volume do paralelepípedo  -->  \( V_p = \ell . \ell . b = \frac{a².b}{2} \)

O volume do paralelepípedo é três vezes o volume do tetraedro nele inscrito, então
volume do tetraedro  --> \(V_t = \frac{V_p}{3}\,\rightarrow\, \boxed{\,V_t = \frac{a².b}{6}\,} \)

___________________________________________________________________

Note que se b = \(\ell\), temos um cubo e o tetraedro é regular com volume -->  \(V_t = \frac{a³\sqrt{2}}{12} \)

Muito boa a solução Medeiros, a construção foi sagaz

Vitor Ahcor escreveu:Muito boa a solução Medeiros, a construção foi sagaz :)

se eu achar um modo de trabalhar o mínimo possível, é o que eu faço.