Equações Modulares

Giovana Martins escreveu:

A questão não tem enunciado? Pois a meu ver faltou a questão informar em qual conjunto numérico a igualdade está situada.

A ideia é resolver de dentro para fora para ir eliminando os módulos.

|x² - 1| = x² - 1, se x ≤ - 1 ou x ≥ 1

|x² - 1| = - x² + 1, - 1 < x < 1

Deste modo, para x ≤ - 1 ou x ≥ 1, tem-se:

|x² - 1 - 3| = |x² - 4| = 1 (i)

Por outro lado, para - 1 < x < 1, tem-se:

|- x² + 1 - 3| = |- x² - 2| = 1 (ii)

Vamos começar resolvendo (i).

|x² - 4| = x² - 4, se x ≤ - 2 ou x ≥ 2

|x² - 4| = - x² + 4, - 2 < x < 2

Para x ≤ - 2 ou x ≥ 2:

x² - 4 = 1, o que acarreta x = ± √5

Para - 2 < x < 2:

- x² + 4 = 1, o que acarreta x = ± √3

Agora, vamos resolver (ii).

De (ii), tem-se |- x² - 2| = 1. Aqui há uma particularidade, pois esta igualdade é impossível se estivermos trabalhando somente no campo dos reais, pois f(x) = - x² - 2 < 0, ∀ ∈ ℝ, uma vez que o coeficiente do termo de ordem 2 de f(x) é negativo e o discriminante de f(x) é negativo.

Deste modo, não há x real que satisfaça a igualdade |- x² - 2| = 1, de tal modo que as únicas soluções são: S = {± √3, ± √5}.

Giovana Martins escreveu:

Mas não deu muita conta.

Eu só explicitei as condições, porque é o correto.

Porém, na hora da prova, daria para fazer um esboço bem mais ou menos dos casos e resolver a questão rapidamente, pois os números em si são simples de se trabalhar.

Não sei dizer como a pessoa resolveu de fora para dentro. Tem a resolução dela aí?

Giovana Martins escreveu:

Está correto o que foi feito. Apenas deve ser tomado cuidado, pois em algumas soluções dessa forma, em se tratando de questões mais complexas, há a introdução de valores que não necessariamente são soluções do problema.

A resolução que eu propus é praticamente a mesma que a sua. Ela apenas detalha as condições para que cada situação ocorra, o que pode ser notado pelos intervalos de valores que delimitam cada etapa da resolução.

Douglas01 escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Está correto o que foi feito. Apenas deve ser tomado cuidado, pois em algumas soluções dessa forma, em se tratando de questões mais complexas, há a introdução de valores que não necessariamente são soluções do problema.

A resolução que eu propus é praticamente a mesma que a sua. Ela apenas detalha as condições para que cada situação ocorra, o que pode ser notado pelos intervalos de valores que delimitam cada etapa da resolução.

Credo, pq foi que inventaram modulo kkk, totalmente desnecessario. 
Ok, Princesa, Obrigado, Deus te abençõe