Equações Modulares

Se  e  o valor de x + y é igual a :


A)-2

B)2

C)18/5

D)22/3

Gab : Letra C

Olá, boa noite 

Primeiro isole o x em √x²+x+y = 10

√x² = 10 - (x+y) →　
(√x²)² = [10 - (x+y)]² → 
x² = 100 - 20y - 20x + x² + 2xy + y² → 
y² - 20y + 100 = 20x - 2xy →
(y-10)² = -2x (y-10) →
x = (10-y)/2 

Substitua a primeira equação na segunda

x + √y² - y = 12 →
(10-y)/2 + √y² - y = 12 →
10 - y + 2√y² - 2y = 24 → 
2√y² = 3y+14 →
(2√y²)² = (3y+14)² (atenção para checar as soluções nesse passo)
4y² = 9y² + 84y + 196 → 
5y² + 84y + 196 = 0 → 5y² + 70y + 14y + 196 = 0 →
5y (y+14) + 14 (y+14) = 0 → (5y+14)(y+14) = 0 → 
y' = -14 ; y'' = -14/5 
Testando as soluções onde elevamos ao quadrado:
P/ y' :
28 = -28 F ∴ y' = -14 não é solução 
P/y'': 
28 = 28 V ∴ y'' = -14/5 é uma solução 

Voltando agora em x = (10-y)/2 e substituindo y'' :

x = 32/5 

Logo a soma x+y = 18/5 ; Letra C 

Bom dia!

Trago uma outra maneira:

se supormos que x < 0, chegaremos em um absurdo. Vejam:

\\ \sqrt{x^2} + x +y = 10 \therefore |x| + x + y = 10 \therefore -x+x+y = 10 \rightarrow y = 10

substituindo na segunda equação:

\\ x + \sqrt{10^2} - 10 = 12 \rightarrow x = 12 > 0

portanto, x é obrigatoriamente maior que zero. Se supormos que y é maior do que zero, chegaremos em um absurdo da mesma forma. Sendo assim, devemos ter um par ordenado (x,y) como solução, tal que x > 0 e y < 0. 

De posse dessa informação, fica fácil resolvermos:

\\ \begin{cases} x+x+y = 10 \therefore 2x+y = 10 \dots I \\ x - 2y = 12 \dots II \end{cases}

Fazendo II + 2I:

\\ x-2y+4x+2y = 12+20 \therefore 5x = 32 \rightarrow \boxed{ x = \frac{32}{5} \Leftrightarrow y = -\frac{14}{5}}

e portanto \\ \boxed{\boxed{ x+y = \frac{18}{5} }} .

Grande abraço,
Pedro