Equações Modulares

por iowa Qua 29 Nov 2023, 11:33

Qual o produto das soluções da equação [latex]\sqrt{5\left | x \right |+8}=\sqrt{x^{2}-16}[/latex]

gabarito:

por **Giovana Martins** Qua 29 Nov 2023, 11:38

|x| = x, se x >= 0 ou |x| = - x, se x < 0.

Para x >= 0: (5x + Cool

^½ = (x² - 16)½ (i)

Para x < 0: (-5x + Cool

¹ = (x² - 16)½ (ii)

Eleve ambos os lados da igualdade por 2 e resolva a equação.

Ao final, teste todas as soluções para ver se todas são de fato soluções.

À noite eu posto algum desenvolvimento se ninguém postar nada antes.

por iowa Qua 29 Nov 2023, 12:24

Giovana Martins escreveu:
|x| = 0, se x >= 0 ou |x| = - x, se x < 0.

Eu não entendi muito bem como você chegou nessas condições. Poderia explicar um pouco melhor?

Vou tentar fazer do jeito que você sugeriu, obrigado.

Atualização : Consegui achar os valores de 8 e -8 seguindo as condições impostas, 8.(- Cool

=-64.

por **Giovana Martins** Qua 29 Nov 2023, 14:59

Iowa, trata-se da própria definição de função modular. Veja:

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-modular.htm

Se houver dúvidas, avise.

por **Giovana Martins** Qua 29 Nov 2023, 15:08

Transformando a escrita matemática na escrita verbal, a definição de módulo está dizendo o seguinte: o valor positivo ou nulo de x irá manter o sinal e o valor negativo de x terá seu sinal "corrigido"

Veja:

Para x = 2, tem-se |2| = 2;

Para x = 0, tem-se |0| = 0;

Para x = - 2, tem-se |-2| = 2.

Generalizando:

Para x >=0: |x| = x é para x < 0, |x| = - x.

por **Giovana Martins** Qua 29 Nov 2023, 15:09

Fiz um ajuste no primeiro post.

por iowa Qua 29 Nov 2023, 16:17

Sanei todas as minhas dúvidas, obrigado!

por Sbr(Ryan) Qua 29 Nov 2023, 20:30

Giovana Martins escreveu:
|x| = x, se x >= 0 ou |x| = - x, se x < 0.

Para x >= 0: (5x + ^½ = (x² - 16)½ (i)

Para x < 0: (-5x + ¹ = (x² - 16)½ (ii)

Eleve ambos os lados da igualdade por 2 e resolva a equação.

Ao final, teste todas as soluções para ver se todas são de fato soluções.

À noite eu posto algum desenvolvimento se ninguém postar nada antes.

se for possível postar o desenvolvimento. Porque as raízes que eu encontrei são 8 , 5-rais57/2, -5+raiz57/2.

por **Giovana Martins** Qua 29 Nov 2023, 20:52

Não consigo apontar o motivo pelo qual suas respostas divergem do gabarito, pois você não postou o seu desenvolvimento. O que eu posso dizer é que, para resolver a questão a minha ideia foi a que segue. Veja se você concorda.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Seja\ a\ igualdade:\sqrt{5|x|+8}=\sqrt{x^2-16}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Por\ def.:|x|=\left\{\begin{matrix} \mathrm{x,se\ x\geq 0}\\ \mathrm{-x,se\ x<0} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Se\ x\geq 0:\sqrt{5x+8}=\sqrt{x^2-16}\to x^2-5x-24=0\ \therefore\ \left\{\begin{matrix} \mathrm{x=-3\ (n\tilde{a}o\ conv\acute{e}m,pois\ x\geq 0)}\\ \mathrm{x=8\ (ok,pois\ 8>0)} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Se\ x<0:\sqrt{-5x+8}=\sqrt{x^2-16}\to x^2+5x-24=0\ \therefore\ \left\{\begin{matrix} \mathrm{x=-8\ (ok,pois\ -8<0)}\\ \mathrm{x=3\ (n\tilde{a}o\ conv\acute{e}m,pois\ x< 0)} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Deste\ modo: x=\pm 8 ,o\ que\ acarreta\ x_1x_2=-8\cdot 8=-64.}[/latex]

Se houver dúvidas, avise.

por **Giovana Martins** Qua 29 Nov 2023, 20:55

Sbr(Ryan) escreveu:
Giovana Martins escreveu:
|x| = x, se x >= 0 ou |x| = - x, se x < 0.

Para x >= 0: (5x + ^½ = (x² - 16)½ (i)

Para x < 0: (-5x + ¹ = (x² - 16)½ (ii)

Eleve ambos os lados da igualdade por 2 e resolva a equação.

Ao final, teste todas as soluções para ver se todas são de fato soluções.

À noite eu posto algum desenvolvimento se ninguém postar nada antes.
se for possível postar o desenvolvimento. Porque as raízes que eu encontrei são 8 , 5-rais57/2, -5+raiz57/2.