lógica - redução ao absurdo

(Problema Proposto) Existem cinco inteiros cuja soma é 101. Mostre que podemos encontrar dois deles cuja soma é pelo menos 41.

Solução: Sejam a, b, c, d, e estes cinco inteiros tais que a + b + c + d + e = 101. Suponha que quaisquer dois destes números possuam soma no máximo 40. Veja que existem dez pares de números que podemos formar escolhendo dois destes cinco números. Dessa forma, temos: a+b <=40 , a+c <=40 , ... d+e <=40. Somando todas essas dez desigualdades, temos: 4(a+b+c+d+e)<=10*40 => a+b+c+d+e<=100. que contradiz nossa hipótese inicial. Portanto, devemos ter dois cuja soma é pelo menos 41.

Dúvida: Não tive problemas em entender a parte algébrica, mas como exatamente a+b+c+d+e <=100 prova que devemos ter mais de números cuja soma é pelo menos 41?

A hipótese inicial diz que a+b+c+d+e = 101. A solução demonstra que, se todas as somas forem <= 40, então a + b + c + e <= 100, o que é contradiz a hipótese, já que 100 < 101.  Segue-se que a condição que, para todo par {x,y} x+y <= 40 é falsa, o que implica que existe pelo menos um par tal que x+y > 40, o que equivale a dizer que existe pelo menos um par {x,y} cuja soma é pelo menos 41, dado que x,y são inteiros.