Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
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rihan
Toddynhuu
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Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Como posso provar, usando o "método de redução ao absurdo" os seguintes exercícios:
1º) Não existem soluções inteiras positivas para equação x²-y²=10.
2º) Não existem soluções racionais para a equação x^5+x^4+x³+x²+x+1=0.
3º) Dados a, b, c números inteiros. Mostre que se a não divide bc, então a não divide b.
Sem gabarito para os três exercícios.
1º) Não existem soluções inteiras positivas para equação x²-y²=10.
2º) Não existem soluções racionais para a equação x^5+x^4+x³+x²+x+1=0.
3º) Dados a, b, c números inteiros. Mostre que se a não divide bc, então a não divide b.
Sem gabarito para os três exercícios.
Toddynhuu- Iniciante
- Mensagens : 45
Data de inscrição : 10/02/2012
Idade : 33
Localização : PepsiCo
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
1) Sejam x e y inteiros positivos, x > y , a solução de:
x² - y² = 10
Então:
(x + y)(x - y) = 5.2 = 10.1
x + y = 5
x - y = 2
======= +
2x = 7
x = 7/2 = 3,5
y = 1,5
--> ABSURDO, já que x e y são inteiros positivos !
x + y = 10
x - y = 1
======= +
2x = 11
x = 11/2 = 5,5
y = 4,5
--> ABSURDO, já que x e y são inteiros positivos !
Logo, por contradição, reductio ad absurdum, x e y não são inteiros positivos. ■
2) x^5+x^4+x³+x²+x+1=0
Para x ≠ 1:
x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^6 -1) / (x-1)
(x^6 -1) / (x-1) = 0
x^6 -1 = 0
x^6 = 1
x = 1 --> ABSURDO CONTRADITÓRIO, pois x ≠ 1
x² - y² = 10
Então:
(x + y)(x - y) = 5.2 = 10.1
x + y = 5
x - y = 2
======= +
2x = 7
x = 7/2 = 3,5
y = 1,5
--> ABSURDO, já que x e y são inteiros positivos !
x + y = 10
x - y = 1
======= +
2x = 11
x = 11/2 = 5,5
y = 4,5
--> ABSURDO, já que x e y são inteiros positivos !
Logo, por contradição, reductio ad absurdum, x e y não são inteiros positivos. ■
2) x^5+x^4+x³+x²+x+1=0
Para x ≠ 1:
x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^6 -1) / (x-1)
(x^6 -1) / (x-1) = 0
x^6 -1 = 0
x^6 = 1
x = 1 --> ABSURDO CONTRADITÓRIO, pois x ≠ 1
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Rihan, muito obrigado! Contudo, não entendi o porquê do segundo membro da equação do exercício 2) você ter igualado a:
(x^6 -1) / (x-1).
Claro que, depois, compreendi você ter equacionado os valores acima a 0.
Porém, no lugar daqueles tais, eu "livremente" poderia ter toda equação (da dúvida), de modo hipotético, igual a : x+1/x-1, condicionado x ≠ 1, e , consequentemente igualando como você fez, a 0 para assim convergir no absurdo (de ter x = 1)?
No que minha hipótese ("x+1/x-1, com x ≠ 1") diverge da tua verdade, sim, além do "x^6", pois, não poderia ter adotado outros valores?
Espero não estar pedindo demais.
(x^6 -1) / (x-1).
Claro que, depois, compreendi você ter equacionado os valores acima a 0.
Porém, no lugar daqueles tais, eu "livremente" poderia ter toda equação (da dúvida), de modo hipotético, igual a : x+1/x-1, condicionado x ≠ 1, e , consequentemente igualando como você fez, a 0 para assim convergir no absurdo (de ter x = 1)?
No que minha hipótese ("x+1/x-1, com x ≠ 1") diverge da tua verdade, sim, além do "x^6", pois, não poderia ter adotado outros valores?
Espero não estar pedindo demais.
Toddynhuu- Iniciante
- Mensagens : 45
Data de inscrição : 10/02/2012
Idade : 33
Localização : PepsiCo
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Toddynhuu escreveu:Rihan, muito obrigado! Contudo, não entendi o porquê do segundo membro da equação do exercício 2) você ter igualado a:
(x^6 -1) / (x-1).
Claro que, depois, compreendi você ter equacionado os valores acima a 0.
Porém, no lugar daqueles tais, eu "livremente" poderia ter toda equação (da dúvida), de modo hipotético, igual a : x+1/x-1, condicionado x ≠ 1, e , consequentemente igualando como você fez, a 0 para assim convergir no absurdo (de ter x = 1)?
No que minha hipótese ("x+1/x-1, com x ≠ 1") diverge da tua verdade, sim, além do "x^6", pois, não poderia ter adotado outros valores?
Espero não estar pedindo demais.
De modo algum parceiro Toddynhuu !
Vamos Lá !
Podemos pensar num produto notável ( ou quociente notável...):
Para qualquer x :
(x - 1)(x² + x + 1) ≡ x³ + x² + x - x² - x -1 ≡ x³ - 1
Para qualquer x ≠ 1 :
(x² + x + 1) ≡ (x³ - 1) / (x - 1)
A extensão para o expoente "n" é imediata:
Para qualquer x ≠ 1 :
xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + 1 ≡ (xⁿ - 1) / (x - 1)
Também podemos deduzir olhando a expressão como a "Soma de uma PG" de razão x e primeiro termo 1" :
Para qualquer x ≠ 1 :
Sn = 1 + x + x² + ... xⁿˉ¹ = (xⁿ - 1) / (x - 1)
O que fiz, então, foi substituir o polinômio por seu idêntico, para qualquer x ≠ 1.
Ficamos com:
Existe x racional positivo para P(x) = 0 ???
Supondo existir algum racional positivo x ≠ 1:
Substituímos P(x) por seu idêntico:
P(x) ≡ Q(x)
Resolvemos a equação:
Q(x) = 0 ?
x^6 = 1 ?
Das 6 raízes, fora os outros 2 complexos e seus conjugados, só existem mais duas outras raízes reais:
x = 1 ou x = -1
Dentro dos racionais positivos somente temos a raíz x = 1 , que contradiz nossa premissa.
Após essa premissa, todas as proposições são verdadeiras, logo, a única coisa falsa é a hipótese de que existe algum racional positivo que torne nulo o polinômio.
Espero ter sido mais claro.
Saudações notáveis !
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Putz... Não acredito! Hehe
Depois do exemplo análogo qual você fizera, Rihan... Agora sim, sei porque não estava entendendo, por preguiça, não fiz a distributiva, pois achava que só "batendo o olho" encontraria a obviedade " x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^6 -1) / (x-1) ".
Enfim, multiplicando ambos os lados da equação acima por (x-1), consequentemente decorrerá de obter x^6 - 1 = X^6 -1 . Qual, era a parte aonde não batia compreensão.
Explicação elegante a tua!
Novamente, muito obrigado! Que paciência homérica, heim!
Depois do exemplo análogo qual você fizera, Rihan... Agora sim, sei porque não estava entendendo, por preguiça, não fiz a distributiva, pois achava que só "batendo o olho" encontraria a obviedade " x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^6 -1) / (x-1) ".
Enfim, multiplicando ambos os lados da equação acima por (x-1), consequentemente decorrerá de obter x^6 - 1 = X^6 -1 . Qual, era a parte aonde não batia compreensão.
Explicação elegante a tua!
Novamente, muito obrigado! Que paciência homérica, heim!
Toddynhuu- Iniciante
- Mensagens : 45
Data de inscrição : 10/02/2012
Idade : 33
Localização : PepsiCo
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Tinha um bom tempo que não ouvia essa frase homérica : "paciência homérica" !!! !!!
Um abraço e saudações homéricas !
Um abraço e saudações homéricas !
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
segundo caso
não entendi no segundo caso porque você esta supondo que x ≠ 1 estou tentando resolver por fatoração polinomial e não estou conseguindo.
Ajuda ae OBG
Ajuda ae OBG
cesar_messias- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 15/07/2012
Idade : 32
Localização : são paulo, sp
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
cesar_messias escreveu:não entendi no segundo caso porque você esta supondo que x ≠ 1 estou tentando resolver por fatoração polinomial e não estou conseguindo.
Ajuda ae OBG
Não existem soluções racionais para a equação:
x^5+x^4+x³+x²+x+1=0.
Creio que está tudo escrito nos meus posts...
Mas, como você não compreendeu, vou mudar a explicação.
Vams lá.
Vamos testar alguns valores:
P(x) ≡ x^5+x^4+x³+x²+x+1
P(x) = 0 ?
P(0) = 1 --> 0 não é raiz.
P(1) = 6 --> 1 não é raiz.
...
Para não ficar a vida toda testando valores, vamos pensar...
Sei que:
(x-1)( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1)
É idêntico a:
x^6 - 1
Simbolicamente, fica assim:
(x-1)( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1) ≡ x^6 - 1
Para ficarmos com o nosso P(x), precisamos dividir ambos os lados por (x-1).
MAS, para fazermos isso, precisamos assegurar que (x-1) não seja nulo, pois NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.
Simbolizamos a nossa condição de restrição assim:
Para:
x -1 ≠ 0
Então:
x ≠ 1
Então:
( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1) = (x^6 - 1) / (x -1)
É sempre verdadeiro.
Então:
( x^5 + x^4 + x³ + x² + x + 1) ≡ (x^6 - 1) / (x -1)
Como já verificamos que 1 não é raíz, tudo bem, vamos continuar.
Vamos trabalhar com a forma mais simples do P(x), a da direita, que, conforme nossas restrições, só vale para x≠1.
Resolvendo a equação:
(x^6 - 1) / (x -1) = 0 ?
Multiplicamos por (x-1), e podemos, pois o impusemos diferente de 0, resultando a equação:
(x^6 - 1) = 0 ?
Adicionamos 1 a ambos os lados:
x^6 = 1 ?
Quando que um número racional elevado a sexta resulta em 1 ?
A única solução Real ( e Racional... ) que conhecemos é o 1.
Mas, então, chegamos a um absurdo, pois todo nosso raciocínio partiu da condição x diferente de 1.
O que afirmamos é que:
Para todo valor de "x" diferente de "1", a única solução real possível é "1".
Como isso é um absurdo claro, concluímos que não existe qualquer valor diferente de "1" que faça ser vedadeira a proposição :
x^5+x^4+x³+x²+x+1=0
Como verificamos que o "1" não é raíz, podemos concluir que:
Não há raízes Reais e, obviamente, Racionais para P(x).
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Muito obrigado agora eu entendi, porem gostaria de saber se essa técnica de multiplicar por (x-1) tem algum nome , teoria especifica ou foi apenas dedução?
Grato bom trabalho.
Grato bom trabalho.
cesar_messias- Iniciante
- Mensagens : 3
Data de inscrição : 15/07/2012
Idade : 32
Localização : são paulo, sp
Re: Demonstração: Método de Redução ao Absurdo
Não é uma técnica.
É um produto que ocorre com muita freqüência nas calculeiras.
Ocorre tanto que é notado.
E então apelididado de PRODUTO NOTÁVEL.
Alguns deles você deve conhecer:
1) Produto de Duas Somas Iguais ( ou Diferenças):
(x + a)(x + a) ≡ (x + a)² ≡ x² + 2ax + a²
2) Produto De Uma Soma por Uma Diferença:
(x + a)(x - a) ≡ x² - a²
3) Potência de Uma Soma ("Binômio de Newton"):
(x + a)ⁿ ≡ ...
E outros mais.
Agora, conhece mais esse:
(x - 1)(xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + x + 1) ≡ (xⁿ - 1)
Para x ≠ 1, também é válido o "Quociente Notável":
(xⁿ - 1)/(x - 1) ≡ xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + x + 1
Saudações Notáveis !
É um produto que ocorre com muita freqüência nas calculeiras.
Ocorre tanto que é notado.
E então apelididado de PRODUTO NOTÁVEL.
Alguns deles você deve conhecer:
1) Produto de Duas Somas Iguais ( ou Diferenças):
(x + a)(x + a) ≡ (x + a)² ≡ x² + 2ax + a²
2) Produto De Uma Soma por Uma Diferença:
(x + a)(x - a) ≡ x² - a²
3) Potência de Uma Soma ("Binômio de Newton"):
(x + a)ⁿ ≡ ...
E outros mais.
Agora, conhece mais esse:
(x - 1)(xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + x + 1) ≡ (xⁿ - 1)
Para x ≠ 1, também é válido o "Quociente Notável":
(xⁿ - 1)/(x - 1) ≡ xⁿˉ¹ + ... + x³ + x² + x + 1
Saudações Notáveis !
rihan- Estrela Dourada
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Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
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