Permutação Circular (Casais)

De quantos modos diferentes 5 casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular de modo de modo que duas mulheres não se sentem juntas?





P.S.: O gabarito aponta como resposta 2.880. Porém fazendo as contas não consigo encontrar essa resposta!
Algum nobre colega poderia confirmar essa minha suspeita apontando uma solução para o problema?

Olá aryleudo, concordo contigo. Creio que so seria essa resposta se nao tivesse "duas" do enunciado. Que no caso seria assim:
As mulheres tem Pc5 = 4! modos de sentar em torno da mesa circular, fixado as mulheres, temos 5! modos para os homens serem colocados nos espaços. Daí 4!.5! = 2880
Na situação do enunciado dado , acho que ficaria assim:

Pode pegar o total ( em que nenhuma mulher fiquem juntas) que ja foi calculado anteriormente e subtrair do caso em que 2 duas mulheres fiquem juntas.

Caso em duas mulheres fiquem juntas:
Os homens tem P5 = 4! modos de sentar em torno da mesa, fixado os homens, considerando essas duas mulheres como um único 'bloco', pemutando eles 2!, e para as outras mulheres 3!.

Então seria
2880 - 4!2!3! = 2592 modos.

Mas as mulheres não podem ficar juntas. Lembra?
Então teríamos Permutação Circular de 5 casais (10 pessoas):
PC₁₀ = (10 - 1)! = 9! = 362880

Permutações delas juntas (considerando essas duas mulheres como um único 'bloco', pemutando eles 2!) para 9 pessoas:
PC₉x2! = (9 - 1)! x 2! = 8! x 2.1 = 40320 x 2 = 80640

Agora substraiu uma da outra:
PC₁₀ - PC₉x2! = 362880 - 80640 = 282240

Olá Luck e Aryleudo:

Com 5 homens e 5 mulheres pode-se parear 5! casais = 120 casais. Como duas mulheres não podem ficar juntas, consideramos que, havendo de cada vez 5 casais à mesa, podemos fazer a permutação circular, P(5-1)=4!=24

Então teremos: 5! x 4!=2880

Só que não é feita restrição em relação a disposição que os casais devem se acomodar na mesa. Por isso meu dilema!

Olá, desculpem eu estava interpretando errado, pensei novamente no exercío e na verdade o que o enunciado pede é o msm caso que eu tinha calculado para que as mulheres nao fiquem juntas; o 'duas' que me confundiu, mas acaba sendo isso. Consegui fazer de dois modos, creio que gab esta correto..

Aryleudo na sua solução qdo vc calcula essas 2 mulheres como um 'bloco', vc acaba particularizando como se apenas essas 2 nao pudessem ficar juntas, entretanto pode ocorrer que outras duas mulheres fiquem juntas.


Primeiro permutamos logo os homens em torno da mesa, que é o caso em q n ocorre nenhum problema . Isso pode ser feito de Pc5 = 4! Feito isso para que duas mulheres nao fiquem juntas, devem ser colocadas entre os 5 espaços, o que pode ser feito de 5!.
Logo 4!.5! = 2880

Consegui fazer tb de outro modo, usando o 2º Lema de Kaplansky , tem tb um exc bem parecido resolvido no livro de combinatória do morgado.. No caso desse problema n seria mais fácil resolver desse modo, mas so pra confirmar:

Há no total 10 pessoas, duas mulheres nao podem ficar juntas. Podemos selecionar pra elas segundo 2º lema de kaplasnky g(10,5) = 10/(10-5)C[10-5],5 = 2 modos. Agora permutando as mulheres nos lugares selecionados 5!, e para os homens 5! modos de permutar depois de restringido os lugares da mulheres. Como a mesa pode ser girada de 10 modos, contamos repetido 10 vezes. Logo a resposta é:

(g(10,5).5!.5!) / 10 = 2.120.120/ 10 = 2880.

Fórmula do 2º lema de Kaplansky = g(n,p) = [n/(n-p)] C(n-p),p , é meio grande mas em problema complicados ajuda bastante..

Mas uma vez muito obrigado pela aula que me deu Luck!

Vivendo e aprendendo!

Forte abraço,

Aryleudo (Ary)