(ITA-1951) Calcular LIMITE II

por **Jigsaw** Qua 18 Out 2023, 19:10

3.2) Calcular [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{log\ n}{log\ (n-1)}[/latex]

Spoiler:

por **Giovana Martins** Qua 18 Out 2023, 22:06

Vou partir do princípio de que "n" tenda ao infinito ao invés de x para que a questão faça sentido.

Um jeito meio "roubado", isto é, não muito formal de resolver. Note que graficamente g(n) = log(n - 1) corresponde a f(n) = log (n) translada uma unidade para a direita, ou seja, g(n) está deslocada uma unidade para a horizontal em relação ao gráfico de f(n). Agora, considerando valores tendendo ao infinito, ambas as funções vão crescendo de forma extremamente lenta, de tal modo que os gráficos de ambas praticamente coincidem conforme n aumenta. Então, para valores grandes de n, f(n) e g(n) tendem praticamente ao mesmo valor, o que resulta em um limite igual a 1.

Ver gráfico para facilitar o entendimento do que eu disse acima.

(ITA-1951) Calcular LIMITE II D11YTt9qyCzmAAAAAElFTkSuQmCC

Agora, um jeito analítico. Por L'Hôpital:

[latex]\\\mathrm{\lim_{n\to \infty }\frac{log(n)}{log(n-1)}=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{d}{dn}\left [ log(n) \right ]}{\frac{d}{dn}\left [ log(n-1) \right ]}=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{n-1}{n} \right )=\lim_{n\to \infty }\left ( 1-\frac{1}{n} \right )=1}[/latex]

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