Divisão Polinômios

por jpdroneves Qui 12 Out 2023, 12:44

Utilizando o Método de Descartes, determine a e b de modo que p(x) = [latex]x^{3}+ax^{2}+bx+20[/latex] seja divisível por d(x) = [latex]x^{2}+x+5[/latex]

por **Giovana Martins** Qui 12 Out 2023, 13:16

Pelo método de Descartes, ao dividirmos p(x) por d(x), dado que p(x) possui grau 3 e d(x) possui grau 2, o quociente da divisão q(x) terá grau 1, tal que podemos escrever q(x) = mx + n. Por sua vez, o resto r(x) terá grau 1 ou menor dado que o divisor d(x) possui grau 2. Portanto, seja r(x) = ux + w.

Da divisão euclidiana, tem-se: p(x) = d(x)q(x) + r(x), tal que:

x³ + ax² + bx + 20 = (x² + x + 5)(mx + n) + ux + w

Mas note o seguinte: como p(x) deve ser divisível por d(x) para que o enunciado seja atendido, o resto desta divisão deve ser nulo. Portanto, r(x) = ux + w = 0

x³ + ax² + bx + 20 = mx³ + mx² + 5mx + nx² + nx + 5n + 0

Partindo-se do conceito de identidade de polinômios:

x³ + ax² + bx + 20 = mx³ + (m + n)x² + (5m + n)x + 5n

m = 1 (i)

m + n = a (ii)

5m + n = b (iii)

5n = 20 (iv)

De (i), (ii), (iii) e (iv): (a, b, m, n) = (5,9,1,4).

Portanto: p(x) = x³ + 5x² + 9x + 20, d(x) = x² + x + 5, q(x) = x + 4 e r(x) = 0.

Penso que seja isto!

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