Divisão de polinômios
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Divisão de polinômios
por Ashitaka Dom 15 Mar 2015, 13:15
Quais das expressões abaixo dividem exatamente x81 - x10 - x + 1?
I) x² + x + 1
II) x² - x + 1
III) x4 + x³ + x² + x + 1
IV) x4 - x³ + x² - x + 1
I) x² + x + 1
II) x² - x + 1
III) x4 + x³ + x² + x + 1
IV) x4 - x³ + x² - x + 1
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Re: Divisão de polinômios
por Luck Seg 16 Mar 2015, 01:20
I)
x³ ≡ 1 mod (x² + x + 1) , então :
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ 1 - x - x + 1 ≡ -2x +2 mod(x²+x+1) , não é divisível.
II)
x³ ≡ -1 mod (x² -x + 1) , então :
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ -1 -(-x) -x + 1 ≡ 0 mod (x² - x + 1)
III)
x^5 ≡ 1 mod(x^4 + x³ + x² + x + 1) , então:
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ x - 1 - x + 1 ≡ 0 mod (x^4 + x³ + x² + x + 1)
IV)
x^5 ≡ -1 mod(x^4 -x³ + x² -x + 1) , então :
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ x - 1 -x + 1 ≡ 0 mod(x^4 - x³ + x² - x + 1)
Logo, II , III e IV.
x³ ≡ 1 mod (x² + x + 1) , então :
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ 1 - x - x + 1 ≡ -2x +2 mod(x²+x+1) , não é divisível.
II)
x³ ≡ -1 mod (x² -x + 1) , então :
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ -1 -(-x) -x + 1 ≡ 0 mod (x² - x + 1)
III)
x^5 ≡ 1 mod(x^4 + x³ + x² + x + 1) , então:
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ x - 1 - x + 1 ≡ 0 mod (x^4 + x³ + x² + x + 1)
IV)
x^5 ≡ -1 mod(x^4 -x³ + x² -x + 1) , então :
x^81 - x^10 - x + 1 ≡ x - 1 -x + 1 ≡ 0 mod(x^4 - x³ + x² - x + 1)
Logo, II , III e IV.
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