Questão função inversa e seu domínio

por camragnel Qua 23 Ago 2023, 17:21

Seja f de A = {x [latex]\epsilon [/latex][latex]\mathbb{R}[/latex] | x [latex]\leqslant [/latex] -1} em B = {y [latex]\epsilon [/latex][latex]\mathbb{R}[/latex] | y [latex]\geqslant [/latex] 1} definida por f(x) = [latex]\sqrt[2]{x^{2}+ 2x + 2}[/latex]. Qual é o valor do domínio de [latex]f^{-1}[/latex] com imagem 3?
GABARITO: f(3) = [latex]\sqrt{17}[/latex]

Desde já, obrigada!

por **Elcioschin** Qua 23 Ago 2023, 17:41

y = √(x² + 2.x + 2) ---> Invertendo variáveis ---> x = √(y² + 2.y + 2) --->

x² = y² + 2.y + 2 ---> y² + 2.y + 2 - x² = 0 --->

y = {- 2 ± √[2² - 4.1.(2 - x²)]/2.1 ----> y = { - 2 ± 2√(x² - 1)}/2 --->

y = - 1 ± √(x² - 1) ---> f-¹(x) = - 1 ± √(x² - 1) ---> Para f-¹(x) = 3 --->

3 = - 1 ± √(x² - 1) --> 4 = ± √(x² - 1) --> 16 = x² - 1 --> x² = 17 ---> x = √17