Função Logaritmica

por vinimasa72 Qua 02 Ago 2023, 16:16

Determine o valor de t para que a equação 4^x - (log_e t + 3) 2^x - log_e t = 0 admita duas raízes reais e distintas

Gabarito:
0e^-1

^{Minha resolução:}
2^x= y e log_et = ln t

y²- (log_e t + 3) y - log_e t = 0
com y>0

Para ter duas raízes distintas Δ>0
ln²t + 9 +6ln t -4*-ln t >0

trocando ln t por r:
r² +10r + 9 > 0
r<-9 ou r >-1

mas como y > 0; as raízes devem ser positivas:

Soma > 0 e Produto >0
Ln t < -3 e Ln t > 0

então r<-1 é descartado

ln t <-9
00??[/size]

por Alien supremo Qua 02 Ago 2023, 19:32

por **Elcioschin** Qua 02 Ago 2023, 21:24

z² + 10.z + 9 = 0

As raízes y = 1 e y = 9 não estão corretas: as raízes corretas são y = -9 e y = -1

por Alien supremo Qua 02 Ago 2023, 22:42

Vish, viajei, mestre. Quais seriam as respostas que nutrem o enunciado?

por Lucas_DN684 Qui 03 Ago 2023, 18:58

Prezados,

Para que a equação dada admita somente duas raízes reais, para todo x real, deve existir algum parâmetro real positivo t de modo que isso seja verdadeiro, por hipótese.

[latex] \underset{Hip\acute{o}tese}{\underbrace{\exists t\in \mathbb{R}_{+}^{*},\forall x \in \mathbb{R},\, \overset{(I)}{\overbrace{4^{x}-(\ln t\, +3)2^{x}-\ln t=0}} \Leftrightarrow x=x_{1}\, \, \, \vee \, \, \, x=x_{2}}}[/latex]

Como a expressão é um tanto quanto pesada de manipularmos, vamos considerar uma substituição dum y real positivo tal que ele é igual a 2^x .

[latex] y=2^{x}\wedge(I)\Leftrightarrow y^{2}-(\ln t +3)y-\ln t=0, \forall y \in \mathbb{R}_{+}^{*}[/latex]

Observemos que se y é um real positivo, então as raízes dessa função do 2° que construímos devem ser necessariamente reais positivos. Por isso, a soma e o produto das raízes devem ser necessariamente positivas; soma-se a estas condições que apenas teremos as duas raízes reais positivas e diferentes se, e somente se, o discriminante for positivo. Nesse sentido, é condição necessária e suficiente à nossa hipótese que os valores do parâmetro t satisfaçam a estas 3 condições.

[latex]y^{2}-(\ln t +3)y-\ln t=0, \forall y \in \mathbb{R}_{+}^{*}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}> 0 \, (II)\\ x_{1}+x_{2}> 0\, (III)\\ x_{1}\neq x_{2}\Leftrightarrow \Delta > 0\, (IV) \end{matrix}\right.[/latex]

Nesse ponto basta resolvermos as inequações logarítmicas, considerando a condição de existência deles satisfeitas por nossas premissas.

[latex](II): \ln t< 0\Leftrightarrow t< 1\\\\\\(III): \ln t +3> 0\Leftrightarrow t> e^{-3}\\\\\\(IV): (\ln t +3 )^2+4 \ln t > 0\Leftrightarrow t< e^{-9}\, \, \, \vee \, \, \, t> e^{-1}\\\\\\(II)\cap (III)\cap (IV)=(e^{-1},1)[/latex]

Logo, a interseção desses 3 intervalos é a solução da nossa questão.

Espero que isso tenha sanado as dúvidas dos senhores. Aguardo pelo feedback.

por vinimasa72 Qui 03 Ago 2023, 19:41

o gabarito ficou errado, tentei arrumar mas não consegui, peço perdão a todos

Gabarito: 0< t < e^{-9} ou t > e^-3

Escrever pq com sinais não está dando:

"t está entre 0 e e^-9ou t é maior que e^-3 "

*está dando problema na hora de digitar*

por vinimasa72 Qui 03 Ago 2023, 20:01

por vinimasa72 Qui 03 Ago 2023, 20:03

vinimasa72 escreveu:

minha dúvida é porque ele não considerou a Soma e Produto >0

por Lucas_DN684 Qui 03 Ago 2023, 20:10

@vinimasa72,

Quando for assim, tenta digitar equações em LaTeX (Só cliclar em Pré-visualizar) ou usando os botões que aparecem nessa caixa onde você digita pra colocar expoentes etc.

Sobre o gabarito fornecido, vejo que ele diz respeito somente à condição do discriminante positivo e acaba não considerando o fato das raízes serem reais positivos, concorda?

Nesse sentido, acredito que a resolução do seu material provavelmente não está exatamente errada, mas sim incompleta porque não atende todas as condições levantadas neste tópico.