Corda comum entre dois círculos

por Ezeq Unwise Ter 16 maio 2023, 01:27

EsPCEx 2018 - Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos é. GABARITO: 24

Alguém pode me apresentar duas maneiras de resolver essa questão?

por **petras** Ter 16 maio 2023, 11:34

Corda comum entre dois círculos Fig01217

Sendo QR = x

[latex]15-x+20-x+x = 25 \therefore x = 10\\ \triangle ESN: ES^2=EV.EN \implies 400 = EV.25 \therefore EV = 16\\ \therefore VN = 25-16 = 9\\ \triangle ESV: 20^2 = SV^2+16^2 \therefore SV = 12 \therefore \boxed{ST = 24}[/latex]

por **Medeiros** Sáb 20 maio 2023, 18:55

Você pediu "duas maneiras de resolver", então vou mostrar uma segunda reportando ao desenho do Petras (acima).

Notar que os lados desse triângulo ESN (15-20-25) são homotetia grau 5 do triângulo pitagórico 3-4-5. Portanto o ângulo S é reto, conforme desenhado pelo Petras. E isto facilita muito, pois lembrando que a corda é perpendicular ao segmento que une os centros (conf. indicado), calculamos a área do triângulo de duas formas:

S = 15*20/2 = 25*SV/2 -----> SV = 12
.:. ST = 2.SV = 24