Transformação linear

Para determinar o núcleo, a gente iguala a saída da transformação a zero para achar qual subespaço gera a saída zero. 

(a, 2a, a-b) = (0, 0, 0) ... a = b = 0.

Portanto, at+ b = 0. Então a transformação é zero apenas para a entrada zero, logo o núcleo apenas tem o zero como elemento.

Ker(T) = [0] ... dim(Ker(T)) = 0. Tem um teorema da álgebra linear que diz se uma transformação tem dimensão zero no núcleo, ela é injetora. Logo, T é injetora.

Para achar a imagem, temos:

(a, 2a, a-b) = a*(1, 2, 1) + b*(0, 0, -1). Logo, a saída da transformação linear é combinação linear entre dos vetores, (1, 2, 1) e (0, 0, -1). 

Im(T) = [(1, 2, 1),  (0, 0, -1)] e dim(Im(T)) = 2.

Para analisar a sobrejetividade, existe alguns métodos. Pode ver que a dim(Im(T)) é diferente da dimensão do R^3 que é a saída da transformação, o que faz que a Im(T) não atinja todos os pontos do R^3. Nesse caso, a Im(T) é um plano no espaço, combinação linear de dois vetores não paralelos, e o R^3 é o espaço de três dimensões.