Teoria dos Números – Congruência

por driveroom Sáb 15 Abr 2023, 14:28

Mostre que, se p é um ímpar e a² + 2b² = 2p, então a é par e b é ímpar.

OBS: Caso possível, não envie a resposta, dê uma breve explicação sobre o assunto e diga-me o passo a passo que devo seguir. É minha forma de estudar, aprendo melhor assim

. Posteriormente, volto aqui para comunicar se fiz certo... Desde já, agradeço!

por **tales amaral** Sáb 15 Abr 2023, 17:32

[latex] 2|a^2\iff 2|a[/latex]

2 divide a^2 se, e somente se, 2 divide a.

Tente usar isso.

por driveroom Dom 16 Abr 2023, 12:51

Não consegui desenvolver nada🥲. Como começa?

por **tales amaral** Dom 16 Abr 2023, 14:58

[latex]a^2+ 2b^2 = 2p \iff a^2=2p-2b^2 = 2\cdot(p-b^2)[/latex]

a^2 é par, portanto a é par.

Como a é par, temos a = 2k para algum k. Voltando para a equação original:

[latex](2k)^2+ 2b^2 = 2p \iff 4k^2+2b^2=2p[/latex]

Como p é impar, temos p = 2q+1 para algum q. Temos:

[latex]4k^2+2b^2=2p \iff 4k^2+2b^2=2\cdot(2q+1) \iff 4k^2+2b^2=4q+2[/latex]

Qual o problema de b ser par? (dica: o lado esquerdo será multiplo de um numero e o lado direito não será).