Semelhança de triângulos ESPM

Um professor pediu a 2 alunos que cada um construísse, usando régua e compasso, um triângulo ABC com os dados: AC = 6 cm, BC = 4 cm e ângulo BÂC = 30°. Sabendo-se que os dois alunos resolveram corretamente a questão, pode-se afirmar que:
 

a) Os dois perceberam que o triângulo não existe.
 b) Os dois construíram triângulos iguais, pois os dados fornecidos constituem um critério de congruência de triângulos.
 c) Os dois construíram triângulos diferentes, pois os dados fornecidos não constituem um critério de congruência de triângulos.
 d) Os dois construíram triângulos semelhantes entre si.
 e) Os dois podem ter construído triângulos não semelhantes entre si.

Gabarito: E


Não conseguie entender como os triângulos poderam ser diferentes, pra min eles parecem ser sempre congruentes

Fazendo AB = x e aplicando Lei dos cossenos

BC² = AC² + AB² - 2.AC.AB.cosBÂC ---> cos30º = √3/2

4² = 6² + AB² - 2.6.AB.(√3/2) ---> AB² - 6.√3.AB + 20 = 0

Esta equação do 2º grau tem duas raízes positivas (sugiro calcular)
Isto significa que existem 2 valores de x que atendem, logo, existem 2 triângulos diferentes

ou então você pensa assim:



Sobre uma reta suporte você coloca o segmento AC = 6.
Em A, marque o ângulo de 30º.
Com centro em C e raio 4 desenhe um semicírculo que corta a reta do ângulo em dois pontos: B' e B" -- obs: errei no desenho e escrevi C' e C".

VIsualmente temos dois possíveis triângulos, AB'C e AB"C, ambos diferentes.

Entendie, muito obrigadoo

Desulpe-me mas na mensagem anterior ficou faltando mostrar que os triângulos não são semelhantes, o que faço agora acrescentando no desenho.

Para mostrar a não semelhança bastava mostrar que no triâng. ACB' temos os ângulos agudos 30º e γ; e que no triâng. ACB" os ângulos agudos são 30º e 30º+γ. Portanto estes triângulos têm três ângulos diferentes e por isto não podem ser semelhantes.

Contudo no desenho abaixo, por prolixo, indiquei todos os ângulos dos três triângulos.

Mais um modo de resolver, usando GA:

Seja C a origem de  um sistema de coordenadas, com A e C no eixo x

Equação da circunferência com centro em C(0, 0) e raio R = 4 ---> x² + y² = 16 ---> I

Equação da reta AB'B" ---> m = tg30º ---> m = √3/3 = 1/√3 --->

y - yA = m.(x - xA) ---> y - 0 = (1/√3).(x + 6) ---> y² = (1/3).(x + 6)²  

II em I ---> x² + (1/3).(x + 6)² = 16 ---> *3 ---> 4.x² + (x² + 12.x + 36) = 48 --->

x² + 3.x - 3 = 0 ---> Raízes xB' e xB" --> Com elas calcula-se yB' e yB"

Agora temos os vértices B' e B" dos dois triângulos e pode-se calcular os lados AB' e AB"