|Complexos| - Desigualdade e módulo

(Titu Andrescu - Adaptada) Sabendo que z é um número complexo que satisfaz [latex]\left | \frac{6.z-i}{2+3.i.z} \right |\leq 1[/latex]. Então o valor máximo de [latex]12.\left | z \right |\[/latex] é igual a: 

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

GABARITO:

---------------------------------------_---------------_----__---------------------------------

Eu encontrei que [latex]0\leq \left | z \right |\leq \frac{\sqrt{3}}{5}[/latex]. No entanto, o valor máximo de [latex]12.\left | z \right |\[/latex] seria irracional. O que eu tô achando é que o enunciado faltou especificar se seria o máximo valor inteiro ou não. Alguém poderia ajudar?

Como estamos trabalhando com módulo, podemos multiplicar a desigualdade por \( | 2 + 3iz | \):
\[
|6z - i | \leq | 2 + 3 i z |
\]
Seja \( z = x + iy \). Substituindo na expressão anterior:
\[
| 6x + i ( 6y - 1 ) | \leq | 2 - 3y + 3ix |
\]
Para resolver desigualdades modulares da forma \( |A| \leq |B| \), podemos elevar ambos os lados ao quadrado, haja vista que o resultado esperado é equivalente a \( A \leq B \ \lor \ A \geq - B\) (mantém-se inalterado).

Vamos extrair o módulo dos números complexos e elevá-los ao quadrado:
\[
\begin{align*}
\left( \sqrt{ (6x)^2 + (6y- 1)^2} \right)^2 & \leq \left( \sqrt{ (2-3y)^2 + (3x)^2 } \right)^2 \\
36x^2 + 36y^2 - 12y + 1 & \leq 4 - 12y + 9y^2 + 9x^2 \\
27x^2 + 27y^2 - 3 & \leq 0 \\
x^2 + y^2 & \leq \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
|z|^2 & \leq \left( \frac{1}{3} \right)^2
\end{align*}
\]
Assim, \( |z|_{\max } = \frac{1}{3} \), o valor máximo de \( 12|z| \) é \( 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 \).

al171 escreveu:Como estamos trabalhando com módulo, podemos multiplicar a desigualdade por \( | 2 + 3iz | \):
\[
|6z - i | \leq | 2 + 3 i z |
\]
Seja \( z = x + iy \). Substituindo na expressão anterior:
\[
| 6x + i ( 6y - 1 ) | \leq | 2 - 3y + 3ix |
\]
Para resolver desigualdades modulares da forma \( |A| \leq |B| \), podemos elevar ambos os lados ao quadrado, haja vista que o resultado esperado é equivalente a \( A \leq B \ \lor \ A \geq - B\) (mantém-se inalterado).

Vamos extrair o módulo dos números complexos e elevá-los ao quadrado:
\[
\begin{align*}
\left( \sqrt{ (6x)^2 + (6y- 1)^2} \right)^2 & \leq \left( \sqrt{ (2-3y)^2 + (3x)^2 } \right)^2 \\
36x^2 + 36y^2 - 12y + 1 & \leq 4 - 12y + 9y^2 + 9x^2 \\
27x^2 + 27y^2 - 3 & \leq 0 \\
x^2 + y^2 & \leq \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
|z|^2 & \leq \left( \frac{1}{3} \right)^2
\end{align*}
\]
Assim, \( |z|_{\max } = \frac{1}{3} \), o valor máximo de \( 12|z| \) é \( 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 \).

O que a desatenção não faz, né? Eu simplesmente tinha metido que 36 - 9 é 25!!! Desatenção pura. Muito obrigado por colocar a conta completa, me ajudou a encontrar o erro!