equação exponencial, iezzi

resolva em R, a equação:

x^2x - (x^2 + x)x^x + x^3 = 0

aoba!

[latex]x^x=y[/latex]

ficamos com:

[latex]y^2-(x^2+x)y+x^3=0[/latex]

[latex]\Delta =(x^2+x)^2-4.1x^3\\ \Delta =x^4+2x^3+x^2-4x^3\\ \Delta =x^4-2x^3+x^2\\ \Delta =(x^2-x)^2[/latex]

abrindo em dois casos:
x^2-x≥0
]-∞,0] v[1;+∞[

[latex]y=\frac{x^2+x\pm (x^2-x)}{2}\\ y_1=x^2\\ y_2=x[/latex]

substituindo:

[latex]x^x=x^2 -> x=2\\ x^x=x -> x=1[/latex]

ambas as soluções fazem parte do intervalo dado.

o outro caso:
x^2-x<0
]0;1[
[latex]y=\frac{x^2+x\pm (x-x^2)}{2}\\ y'_1=x\\ y'_2=x^2[/latex]


como já foi calculado antes, os valores não pertencem a esse intervalo.

S={1,2}

x^2.x - (x² + x).x^x + x³ = 0

(x^x)² - (x² + x).(x^x) + x³ = 0

Fazendo y = x^x ---> y² - (x² + x).y + x³ = 0 ---> Equação 2º grau:

∆ = b² - 4.a.c ---> ∆ = (x² + x)² - 4.1.x³ ---> ∆ = x⁴ + 2.x³ + x² - 4.x³ --->

∆ = x².(x² - 2.x + 1) ---> ∆ = x².(x - 1)² ---> √∆ = x.(x - 1) ---> √∆ = x² - x

y = [(x² + x) ± (x² - x)]/2 ---> Raízes:

1) y = x² ---> x^x = 2 ---> x = 2
2) y = x¹ ---> x^x = x¹ ---> x = 1

A questão do gráfico é devido ao domínio. Em geral pra funções exponenciais assumimos que a base é positiva. Ou seja, o domínio de f(x)  = x^x usualmente considerado é x > 0, mesmo levando em conta que essa expressão está bem definida nos inteiros negativos. Por isso não vemos nada no wolframalpha. Na verdade, até da pra estender a exponencial para bases negativas, isso é feito por exemplo ao estudar a exponencial como função complexa. Só que tem algumas dificuldades: as propriedades da potenciação podem ser perdidas. Por exemplo:

\( -1 = (-1)^{-1} = (-1)^{(-2) \frac 12} = \left( (-1)^{-2} \right)^{\frac 12} = 1^{\frac 12} = 1\)


Essas dificuldades aparecem porque o argumento de um número complexo não é único, e o argumento está relacionado com a exponencial complexa.

Voltando a questão, a solução x = -1 aparece em x^x = x ⇒ x = 1 ou x = -1 no caso em que assumimos como válida valores inteiros negativos de x no termo x^x.

Para evitar esta dupla interpretação, o enunciado deveria ser:

Resolva em ℕ, a equação: (ao invés de Resolva em ℝ a equação)