Números complexos

Se (1+x) (1+x^2)(1+x^3) ... (1+x^100) = a0+a1x+a2x^2+ ... + a5050x^5050 , encontre o valor da soma S = a0 + a5 + a10 + ... + a5050.
a) 1/5 (2^100 + 4.2^200)
b) 1/5 (2^100 - 2^20)
c) 1/5 (2^101 + 3. 2^20)
d) 1/5 (2^101 - 2.2^20)
e) 1/5 (2^102 + 2^20)

Seja \(w  = \cos \frac{2 \pi}5 + i \sin \frac{2\pi}5 \). Dessa forma, \(1, w, w^2, w^3, w^4 \) são as raízes da equação \(x^5 = 1\). Como \( w \neq 1\) segue que:

\( w^5 - 1 = 0 \implies (w - 1)(1+w+w^2 + w^3+ w^4) = 0 \implies 1+w+w^2 + w^3+ w^4  = 0\)

Dado o polinomio \(p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +  \cdots + a_{5050} x^{5050}\) temos \( p(1) + p(w) + p(w^2) + p(w^3) + p(w^4) = 5S \). Para ver porque isso é verdade repare que se \( q(x) = ax^n\) então

\(\displaystyle q(1) + q(w) + q(w^2) + q(w^3) + q(w^4) = a(1 + w^n + w^{2n} + w^{3n}+ w^{4n} ) = \begin{cases} 5a, \textrm{ se } n \textrm{ é múltiplo de } 5; \\ 0, \textrm{ caso contrário.}\end{cases} \)

Para concluir notamos que \( p (1) = 2^{100}\) e \(p(w) = p(w^2) = p(w^3) = p(w^4) = \left[ (1+w)(1+w^2)(1+w^3)(1+w^4)(1+w^5) \right]^{20}\). Como

\( x^5-1 = (x-w)(x-w^2)(x-w^3)(x-w^4)(x-w^5) \implies -(1+w)(1+w^2)(1+w^3)(1+w^4)(1+w^5) = (-1)^5 - 1 = -2 \)

segue que \(p(w) = 2^{20}\). Portanto,

\( 5S = 2^{100} + 4\cdot 2^{20} \implies \boxed{S = \dfrac 15 (2^{100} + 4\cdot 2^{20})}\)