Geometria espacial(sólidos semelhantes)

Uma pirâmide triangular regular tem de aresta lateral 10 dm e para apótema da base 3 dm. Corta-se essa pirâmide por um plano paralelo à base e cuja distância ao vértice é 4 dm. Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido. 
gabarito : 63√3 dm3

Seja ABC a base, com lado a e M o ponto médio de BC
Seja V o vértice e O o incentro da base.
Seja H a altura da pirâmide original, h = 4 a altura da pirâmide retirada e VM = h'

VA = VB = VC = L = 10

OM = 3 ---> OA = 2.3 = 6 ---> AM = 9

AB.cos30º = AM ---> a.(√3/2) = 9 ---> a = 6.√3 ---> BM = CM = 3.√3

VM² = VB² - BM² ---> h'² = 10² - (3.√3)² ---> h'² = 63

OV² = VM² - OM² ---> H² = 63 - (3.√3)² ---> H = 6

V = Sb.H/3 ---> V = (a².√3/4).6/4 ---> Calcule

Sendo a' o lado da base da pirâmide retirada:

h/H = a'/a ---> 4/6 = a'/6.√3 ---> Calcule a'

v = (a².√3/4).h/3 ---> Calcule v

Vt = V - v

Elcioschin escreveu:Seja ABC a base, com lado a e M o ponto médio de BC
Seja V o vértice e O o incentro da base.
Seja H a altura da pirâmide original, h = 4 a altura da pirâmide retirada e VM = h'

VA = VB = VC = L = 10

OM = 3 ---> OA = 2.3 = 6 ---> AM = 9

AB.cos30º = AM ---> a.(√3/2) = 9 ---> a = 6.√3 ---> BM = CM = 3.√3

VM² = VB² - BM² ---> h'² = 10² - (3.√3)² ---> h'² = 63

OV² = VM² - OM² ---> H² = 63 - (3.√3)² ---> H = 6

V = Sb.H/3 ---> V = (a².√3/4).6/4 ---> Calcule

Sendo a' o lado da base da pirâmide retirada:

h/H = a'/a ---> 4/6 = a'/6.√3 ---> Calcule a'

v = (a².√3/4).h/3 ---> Calcule v

Vt = V - v

Élcio, segue uma antiga resolução sua com algumas correções de outro site que vocÊ participava


por 
[ltr]Elcioschin[/ltr]
 » Quarta Set 16, 2009 1:59 pm
Cálculo do lado L da base -----> tg30º = 3/(L/2) ----> 1/V3 = 6/L ---> L = 6*V3

Cálculo da área S da base ----> S = L²*V3/4 -----> S = (6*V3)²*V3/4 -----> S = 27*V3

Raio da base ----> R = 2*3 ----> R = 6

Altura H da pirâmide ----> H² = A² - R² ----> H² = 10² - 6² ----> H = 8

Volume da pirâmide ----> V = (1/3)*pi*S*H -----> V = (1/3)*pi*(27*V3)*8 -----> V = 72*pi
Correto seria V =72V3pi

Sejam v, h o volume e altura da pirâmide menor ----> V/v = (H/h) ----> 72*pi/v = (8/4)³ ----> v = 9*pi
Correto seria 72V3*pi/v = (8/4)³ ----> v = 9V3*pi

Volume do tronco ----> Vt = V - v -----> Vt = 72*pi - 9*pi ----> Vt = 63*pi dm³
Correto seria: Vt = 72v3*pi - 9*pi ----> Vt = 63V3*pi dm³
Elcioschin Mensagens: 6216Registrado: Quinta Set 03, 2009 6:28 pm

Nem me lembrava mais. Mas é importante para poder comparar as duas soluções.
Em 03/09/2009 eu ainda não fazia parte do piR2. Minha inscrição foi em16/09.

Elcioschin escreveu:Nem me lembrava mais. Mas é importante para poder comparar as duas soluções.
Em 03/09/2009 eu ainda não fazia parte do piR2. Minha inscrição foi em16/09.

Era no fórum Só Ensino

Acho que era mesmo. E acho que o Euclides também era usuário.
Depois o Euclides criou o piR2 e eu acabei sendo convidado.