Questão CN - Divisibilidade e Fatoração envolvidas.

por davipaiva 6/7/2022, 8:36 am

(CN - 76) Calcular m no número A = 2^{m-1} x 3^{2} x 5^{m}, de modo que o M.D.C. entre o número A e o número 9.000 seja 45:

a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1

r - e

por catwopir 6/7/2022, 8:47 am

Opa, bom dia.

temos que o mdc entre A e 9000 é 45, então podemos escrever o A como 45k, perceba que o K não pode ser 2².5², pois caso contrário o A teria mais fator em comum com o 9000, concluímos que o k não pode ter os fatores 2 e muito menos fator 5.

temos então que:
3².5k=2^(m-1).3².5^m
não temos o fator dois, logo m-1=0 ->m=1

obs: 9000=45.200, por isso falei que o A não pode ser decomposto em nenhum fator que faça parte do 200.

questão divertida

por davipaiva 6/7/2022, 8:57 am

catwopir escreveu:
temos que o mdc entre A e 9000 é 45, então podemos escrever o A como 45k, perceba que o K não pode ser 2².5², pois caso contrário o A teria mais fator em comum com o 9000...

Não entendi por que não pode ter 2^{2} . 5^{2} ? Como você já achou isso no início?

por catwopir 6/7/2022, 9:03 am

davipaiva escreveu:
catwopir escreveu:Opa, bom dia.

temos que o mdc entre A e 9000 é 45, então podemos escrever o A como 45k, perceba que o K não pode ser 2².5², pois caso contrário o A teria mais fator em comum com o 9000...
Não entendi por que não pode ter 2^{2} . 5^{2} ? Como você já achou isso no início?

pelo fato de que o MDC é 45... ou seja, o máximo divisor comum é 45...
o A=45k, mas esse k não pode ter mais nenhum fator em comum com o 9000, visto que o MDC é 45...
9000=45.2³.5²

então... quando fatoramos o A em fatores primos, não poderemos ter o fator dois.