Enem PPL 2012 - Durante seu treinamento ...

por Ana Laura Guimarães Sex 22 Abr 2022, 20:02

Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.

Enem PPL 2012 - Durante seu treinamento ... Captura_de_tela_226

Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?

a) 15 graus
b) 30 graus
c) 60 graus
d) 90 graus
e) 120 grau

GABARITO:

Olá, poderiam me explicar essa questão?

Fiz dessa maneira colocada abaixo, porém, não sei se esse seria o raciocínio correto

Se o lado FR = R , AF = R , se o lado AC = R o triângulo teria os 3 lados iguais, e assim, 60° em ambos os ângulos

por **Giovana Martins** Sex 22 Abr 2022, 20:07

por **Giovana Martins** Sex 22 Abr 2022, 20:09

O que você pensou está certinho. Você editou a postagem enquanto eu esboçava a resolução, só por isso eu postei. Mas o que você pensou está correto Smile

.

por Ana Laura Guimarães Sex 22 Abr 2022, 20:13

Giovana Martins escreveu:

Giovana, muito obrigada pela ajuda, porém, tenho uma dúvida, o lado AC do triângulo = Raio , contudo, o raio não é uma reta que une o centro a uma ponto da circunferência? Como eu posso afirmar que AC é o raio? Também fiz dessa forma mas não entendi muito bem se estaria certo devido a essa definição de raio

por **Giovana Martins** Sex 22 Abr 2022, 20:21

"...contudo, o raio não é uma reta que une o centro a uma ponto da circunferência?..."

Pergunta legal! neste caso eu justificaria da seguinte forma: o que você diz é uma das definições de raio, porém, há também a definição de raio que diz que o raio corresponde a metade do diâmetro da circunferência.

Uma vez que conhecemos o diâmetro da circunferência, e neste caso ele é LC = 2R (isso foi o enunciado que nos disse), pela definição de que o raio da circunferência corresponde a metade de seu diâmetro, concluímos que AC é, também, raio da circunferência (ainda que o segmento AC fuja da definição de raio que você propôs), justamente pelo fato de AC corresponder a metade do diâmetro da circunferência.

por **Giovana Martins** Sex 22 Abr 2022, 20:25

Na hora da prova você também poderia justificar o seguinte: note. pelo desenho, que inicialmente temos AC > R e em algum momento teremos A'C < R, ou seja, em algum momento, inevitavelmente, teremos A'C = R.

por **Giovana Martins** Sex 22 Abr 2022, 20:33

Um outro jeito:

[latex]\\\mathrm{A'C^2=A'F^2+FC^2-2\times A'F\times FC\times cos(\theta )}\\\\ \mathrm{Sendo\ A'C=A'F=FC=R\ \therefore\ R^2=2R^2-2R^2cos(\theta )}\\\\ \mathrm{cos(\theta )=\frac{1}{2}\ \therefore\ \theta =arccos\left ( \frac{1}{2} \right )\ \therefore\ \theta =60^{\circ}}[/latex]

por Ana Laura Guimarães Sex 22 Abr 2022, 20:42

ótima explicação, muito obrigada Very Happy

por **Giovana Martins** Sex 22 Abr 2022, 20:51

Disponha!!!

por **Medeiros** Sáb 23 Abr 2022, 01:38

Ana Laura Guimarães escreveu:Giovana, muito obrigada pela ajuda, porém, tenho uma dúvida, o lado AC do triângulo = Raio , contudo, o raio não é uma reta que une o centro a uma ponto da circunferência? Como eu posso afirmar que AC é o raio? Também fiz dessa forma mas não entendi muito bem se estaria certo devido a essa definição de raio

Ana

quando dizemos AC = R isto significa que a medida do segmento AC é a mesma medida do Raio -- o próprio enunciado já ressalvava isto na última linha ao dizer "...quando o segmento AC medir R durante a corrida". Então devemos entender que AC e R são segmentos congruentes, e não que AC é um raio.

Gosto da última resposta da Giovana porque ela resolve um caso genérico, i.e., aplica-se a qualquer medida de AC.