Geometria Plana - Trapézio

por coqzieiro Ter 01 Mar 2022, 12:07

4) Seja ABCD um trapézio de bases AD e BC (AD>BC) tal que ADC = 2BAD = 2CBD. Se BC = 2 e BD = 3, então a medida de AD é:

a) um número irracional
b) 9/2
c) 4
d) 5
e) NDA

Gabarito:

B:

Desde já, muito obrigado pela ajuda!

OBS.: Não tem imagem.

por João Pedro Lima Ter 01 Mar 2022, 12:40

Fala, coqzieiro.

Se ∠BAD = ∠CBD = x -> ∠ADC = 2x.
Como ABCD é trapézio, AD é paralelo á BC -> ∠ADB = ∠CBD = x
Como ∠ADB + ∠BDC = ∠ADC = 2x, ∠BDC = x.
Marcando os ângulos que faltam, pelo somatório de ângulos internos de um triângulo, ∠ABD = 180-2x e ∠DCB = 180-2x.
Como o ∆BCD possui ângulos da base iguais, ele é isósceles e CD = BD = 2.
Como o ∆ABD possui ângulos da base iguais, também é isósceles e BA = BD = 3.

Pela lei dos cossenos no ∆BCD:
9 = 4 + 4 -2*2*2cos(180-2x)
cos(180-2x) = -1/8

Para finalizar, lei dos cossenos no ∆ABD:
AD^2 = 9 + 9 - 2*3*3cos(180-2x)
AD^2 = 18 + 18/8 = 18 + 9/4 = 81/4
AD = 9/2

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