Para cada subconjunto A, seja π(A) o produto de seus

por jmm22_ Dom 20 Fev 2022, 10:18

Para cada subconjunto A de {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, seja π(A) o produto de seus elementos. Por exemplo, π({1, 2, 4, 5}) = 40 e π(A) = 10! = 1·2·3·...·10. Por convenção, adote π(∅) = 1. Qual a soma de todos os 210 produtos π(A)?

por joaoZacharias Dom 20 Fev 2022, 11:54

Bom dia colega;

Tentemos observar o valor das somas S analisando casos mais simples:

[latex]A_1=\{1\} \implies S_1 = 1+ 1 =2 [/latex]

[latex]A_2=\{1,2 \} \implies S_2 = 1+ 1 + 2 +2 = (1+1) + 2(1 +1) =3 (1+1) = 3\cdot 2 [/latex]

[latex]A_3 = \{1,2,3\} \implies S_3 = (1+ 1 + 2 +2) + (3 + 3 + 6 + 6)= (3 \cdot 2) + (3 \cdot 3 \cdot 2 ) = 4 \cdot 3 \cdot 2[/latex]

Aqui dá para supor a existência de uma fórmula do tipo:

[latex]
S_n = (n+1)![/latex]

Prove por indução e use esse resultado para concluir que

[latex]S_{10} = 11![/latex]

Uma maneira alternativa à indução seria provar que as parcelas da distributiva do produto
(10 +1)(9 +1)(8 +1)(7+1)(6+1)(5+1)(4+1)(3+1)(2+1) (1+1)= 11! contém todos e apenas os produtos do conjunto A que serão somados.

Bons estudos Smile